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        1. 【題目】如圖1,正方形紙片ABCD的邊長為2,翻折∠B、∠D,使得兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,EFGH分別是折痕(如圖2).設AEx0x2),給出下列判斷:

          x1時,點P是正方形ABCD的中心;

          x時,EFGHAC

          0x2時,六邊形AEFCHG面積的最大值是;

          0x2時,六邊形AEFCHG周長的值不變.

          其中正確的是________(填序號).

          【答案】①④

          【解析】試題分析:正方形紙片ABCD,翻折B、D,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,∴△BEFDGH是等腰直角三角形,AE=1時,重合點PBD的中點,P是正方形ABCD的中心;故結(jié)論正確;正方形紙片ABCD,翻折BD,使兩個直角的頂點重合于對角線BD上一點P,∴△BEF∽△BACx=,BE=2-=,即EF=AC,同理,GH=ACEF+GH=AC,故結(jié)論錯誤;六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積-EBF的面積-GDH的面積.AE=x,六邊形AEFCHG面積=BEBF-GDHD=4-×2-x2-x-xx==六邊形AEFCHG面積的最大值是3,故結(jié)論錯誤;0x2時,EF+GH=AC,六邊形AEFCHG周長=AE+EF+FC+CH+HG+AG=AE+CH+FC+AG+EF+GH=2+2+2=4+2,故六邊形AEFCHG周長的值不變,故結(jié)論正確.

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          學生乙:連接DP,如圖2,很容易證明PD=PB,然后再通過等角對等邊證明PE=PD,就可以證明PB=PE了.

          解決問題:請你選擇上述一種方法給予證明.

          問題延伸:如圖3,移動三角板,使三角板的直角頂點P在對角線AC上,一條直角邊經(jīng)過點B,另一條直角邊交DC的延長線于點EPB=PE還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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