Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，正方形ABCD繞點A（0，6）旋轉(zhuǎn)，當點B落在x軸上時，點C剛好落在反比例函數(shù)（k≠0，x＞0)的圖像上．已知sin∠OAB＝.

（1）求反比例函數(shù)的表達式；

（2）反比例函數(shù)的圖像是否經(jīng)過AD邊的中點，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 不經(jīng)過AD邊的中點，理由見解析;

【解析】

（1）過C點作CE⊥x軸于E，如圖，利用正弦的定義得到sin∠OAB=，設(shè)OB=，則AB=5，利用勾股定理即可求得，接著證明△AOB≌△BEC得到AO=BE，OB=CE，從而得到C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；
（2）利用平移的方法確定D點坐標，再利用線段中點坐標公式得到線段AD的中點坐標，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過AD邊的中點．

（1）過C點作CE⊥x軸于E，如圖，

∵A（0，6），
∴OA=6，
在Rt△OAB中，sin∠OAB=，

設(shè)OB=，則AB=5，

∴OA=，

∴，

解得：，即OB=，

∴點B的坐標為(3，0)，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
而∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠BEC，∠OAB=∠CBE=90°，AB=BC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴AO=BE=6，OB=CE=3，

∴點C的坐標為(9，3)，

∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，

∴反比例函數(shù)的表達式為；

（2）反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過AD邊的中點．

理由如下：
∵點B向左平移3個單位，再向上平移6個單位得到A點，

∴點C向左平移3個單位，再向上平移6個單位得到D點，

∴D點坐標為(6，9)，

∴線段AD的中點坐標為(，)，即(3，3.5)，

∵當x=3時，，

∴反比例函數(shù)圖像不經(jīng)過AD邊的中點．