Question

【題目】以銳角△ABC的邊AC、AB為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，連結(jié)BE、CF.

（1）你能找到哪兩個(gè)圖形可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)而相互得到，并指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.

（2）試探索BE和CF有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) 三角形ABE 與三角形ACF ，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)角度為90°或270°(2) BE=CF且BE⊥CF，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小，則一定找全等圖形，由SAS條件可證明全等的圖形可以是三角形ACF與三角形ABE，三角形ABE以點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到三角形ACF.

（2）由三角形ACF與三角形ABE全等得到BE和CF相等，再通過(guò)直角三角形中銳角的等量代換得到 FHB=90°，進(jìn)而得到BE和CF垂直.

（1）∵四邊形ACDE和四邊形ABGF是正方形

∴AB=AF，AC=AE

又∠FAB=∠EAC=90°

∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC

即∠FAC=∠EAB

在三角形ACF與三角形AEB中

所以 (SAS)

由旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小可知，三角形ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到三角形ACF.

三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°可得到三角形ACF.

（2）判斷BE=CF且BE⊥CF，理由如下：

由（1）可知

則BE=CF，∠ACF=∠AEB

在直角三角形AOE中，∠AEO+∠AOE=90°

而∠AOE=∠COH

則在三角形HOC中，∠ACH+∠COH=90°

即三角形HOC是直角三角形

則∠OHC=90°

即BE⊥CF

綜上：BE=CF且BE⊥CF