Question

【題目】A、B、C 為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn) C 到點(diǎn) A 的距離是點(diǎn) C 到點(diǎn) B 的距離的 2倍，則稱點(diǎn) C 是（A，B）的奇異點(diǎn)，例如圖 1 中，點(diǎn) A 表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)B 表示的數(shù)為 2，表示 1 的點(diǎn) C 到點(diǎn) A 的距離為 2，到點(diǎn) B 的距離為 1，則點(diǎn)C 是（A，B）的奇異點(diǎn)，但不是（B，A）的奇異點(diǎn)．

(1)在圖 1 中，直接說出點(diǎn) D 是（A，B）還是（B，C）的奇異點(diǎn)；

(2)如圖 2，若數(shù)軸上 M、N 兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為﹣2 和 4，（M，N）的奇異點(diǎn) K 在 M、N 兩點(diǎn)之間，請求出 K 點(diǎn)表示的數(shù)；

(3)如圖 3，A、B 在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為﹣20 和 40，現(xiàn)有一點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，向左運(yùn)動．

①若點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 停止，則當(dāng)點(diǎn) P 表示的數(shù)為多少時，P、A、B 中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇異點(diǎn)？

②若點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 后繼續(xù)向左運(yùn)動，是否存在使得 P、A、B 中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇異點(diǎn)的情況？若存在，請直接寫出此時 PB 的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D是（B，C）的奇異點(diǎn)，不是（A，B）的奇異點(diǎn)；（2）（M，N）的奇異點(diǎn)表示的數(shù)是2；（3）①點(diǎn)P表示的數(shù)是0或10或20時，P、A、B中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇異點(diǎn)；②PB=120或180或90.

【解析】

（1）根據(jù)奇異點(diǎn)的定義和數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即可求出點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離為1，到點(diǎn)B的距離為2，以及點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離為1，就可以對點(diǎn)D做出判斷.

（2）設(shè)奇異點(diǎn)表示的數(shù)為x，根據(jù)奇異點(diǎn)的定義可得方程：x﹣（﹣2）=2（4﹣x）．從而求得x值.

(3)①當(dāng)P在A、B兩點(diǎn)之間時，P、A、B中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇異點(diǎn)需分類討論，具體分四種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P是（A，B）的奇異點(diǎn)時、當(dāng)點(diǎn)P是（B，A）的奇異點(diǎn)時、當(dāng)點(diǎn)A是（B，P）的奇異點(diǎn)時、當(dāng)點(diǎn)B是（A，P）的奇異點(diǎn)時，計(jì)算方法同（1）.

②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A后繼續(xù)向左運(yùn)動，是否存在使得P、A、B中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇異點(diǎn)的情況方法同①分四種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P為（B，A）的奇異點(diǎn)時，PB=120；

當(dāng)點(diǎn)A為（P，B）的奇異點(diǎn)時，PB=180；當(dāng)點(diǎn)A為（B，P）的奇異點(diǎn)時，PB=90；

當(dāng)點(diǎn)B為（P，A）的奇異點(diǎn)時，PB=120．

（1）在圖1中，點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離為1，到點(diǎn)B的距離為2，

∴點(diǎn)D是（B，C）的奇異點(diǎn)，不是（A，B）的奇異點(diǎn)；

（2）設(shè)奇異點(diǎn)表示的數(shù)為x，

則由題意，得x﹣（﹣2）=2（4﹣x）．

解得x=2．

∴（M，N）的奇異點(diǎn)表示的數(shù)是2；

（3）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為y．

當(dāng)點(diǎn)P是（A，B）的奇異點(diǎn)時，

則有y+20=2（40﹣y），

解得y=20．

當(dāng)點(diǎn)P是（B，A）的奇異點(diǎn)時，

則有40﹣y=2（y+20），

解得y=0．

當(dāng)點(diǎn)A是（B，P）的奇異點(diǎn)時，

則有40+20=2（y+20），

解得y=10．

當(dāng)點(diǎn)B是（A，P）的奇異點(diǎn)時，

則有40+20=2（40﹣y），解得y=10．

∴當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)是0或10或20時，

P、A、B中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇異點(diǎn)．

②當(dāng)點(diǎn)P為（B，A）的奇異點(diǎn)時，PB=120；

當(dāng)點(diǎn)A為（P，B）的奇異點(diǎn)時，PB=180；

當(dāng)點(diǎn)A為（B，P）的奇異點(diǎn)時，PB=90；

當(dāng)點(diǎn)B為（P，A）的奇異點(diǎn)時，PB=120．