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        1. 【題目】已知:ABC 內接于⊙O,過點 A 作⊙O 的切線交 CB 的延長線于點 P,且∠PAB=45°

          1)如圖 1,求∠ACB 的度數(shù);

          2)如圖 2AD 是⊙O 的直徑,AD BC 于點 E,連接 CD,求證:AC CD ;

          3)如圖 3 ,在(2)的條件下,當 BC 4CD 時,點 F,G 分別在 AP,AB 上,連接 BF,FG,∠BFG=P,且 BF=FG,若 AE=15,求 FG 的長.

          【答案】1)∠ACB45°;(2)見解析;(3

          【解析】

          1)連接OA,OB,根據(jù)切線的性質求出∠OAB=∠OBA45°,得到∠AOB90°,再根據(jù)圓周角定理可得答案;

          2)作AMBCM,DNBCN,連接BD,易求,,然后證明ABM≌△BDN,得到AMBN,等量代換即可得證;

          3)根據(jù)(2)中結論求出,然后證明AMCDNCAMDN,根據(jù)相似三角形的性質和平行線分線段成比例定理求得DEAD,進而利用勾股定理求出CD,AC,然后即可求出AB的長,再證明PAB∽△PCA,求出PA,可得,過點GGKFB,過點FFHBG,設GK3b,利用三角函數(shù)及等腰三角形的性質求出AHBH,然后列方程求出b值即可解決問題.

          解:(1)連接OA,OB,則OAOB,

          ∴∠OAB=∠OBA,

          PA是⊙O的切線,

          ∴∠PAO90°,

          ∵∠PAB45°,

          ∴∠OAB=∠OBA45°,

          ∴∠AOB90°,

          ∴∠ACBAOB45°

          2)作AMBCM,DNBCN,連接BD,

          AD是⊙O的直徑,

          ∴∠ABD=∠ACD90°,

          ∵∠ACB45°,

          ∴∠CAM=∠BCD=∠CDN45°,

          ,,

          ∵∠ADB=∠ACB45°,

          ABBD

          ∵∠ABM+∠DBN90°=∠BDN+∠DBN,

          ∴∠ABM=∠BDN

          又∵∠AMB=∠BND90°,

          ∴△ABM≌△BDNAAS),

          AMBN,

          3)如圖3,作AMBCMDNBCN,由(2)可知:,

          ,

          ,即,

          CDx,則AC7x

          ∵∠AMC=∠DNC90°,∠ACM=∠DCN45°

          ∴△AMC∽△DNC,

          AMBC,DNBC

          AMDN,

          ,

          ,

          ,

          RtACD中,AC2+CD2AD2

          ,

          解得:(負值已舍去),

          ,,,

          ∵△AMC是等腰直角三角形,

          ,

          ,

          ,

          ∵∠P=∠P,∠PAB=∠PCA45°,

          ∴△PAB∽△PCA,

          ,

          PB5a,則PA7a,

          PA2PB·PC得:,

          解得:a0(舍去),

          PA20,

          ,

          ,

          過點GGKFB,過點FFHBG,

          GK3b,則BFFG5b,

          FK4b,

          BKb,

          ,

          BH

          ,

          ∵∠PAB45°,

          AHFH,

          ,

          解得:,

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          1)甲、乙兩地之間的距離為

          2)請解釋圖中點的實際意義:__________;

          3)求線段所表示的之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍.

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