Question

已知：如圖，AB=BC=CA=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC，CP交AH于P．求證：△ABC的面積S=

3

4

AP•BD．

Answer 1

分析：因S_△ABC=

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BC²=

3

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AC•BC，只須證AC•BC=AP•BD，轉化為證△APC∽△BCD．這由A、B、C、Q四點共圓易證（Q為BD與AH交點）．

解答：證明：記BD與AH交于點Q，則由AC=AD，AH⊥CD得∠ACQ=∠ADQ．
又AB=AD，故∠ADQ=∠ABQ．
從而∠ABQ=∠ACQ．可知A、B、C、Q四點共圓．
∵∠APC=90°+∠PCH=∠BCD，∠CBQ=∠CAQ，
∴△APC∽△BCD．
∴AC•BC=AP•BD．
于是，S=

3

4

AC•BC=

3

4

AP•BD．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及確定圓的條件，難度適中，關鍵是掌握相似三角形的判定方法．