Question

（2013•義烏市）為迎接中國(guó)森博會(huì)，某商家計(jì)劃從廠家采購(gòu)A，B兩種產(chǎn)品共20件，產(chǎn)品的采購(gòu)單價(jià)（元/件）是采購(gòu)數(shù)量（件）的一次函數(shù)，下表提供了部分采購(gòu)數(shù)據(jù)．

采購(gòu)數(shù)量（件）	1	2	…
A產(chǎn)品單價(jià)（元/件）	1480	1460	…
B產(chǎn)品單價(jià)（元/件）	1290	1280	…

（1）設(shè)A產(chǎn)品的采購(gòu)數(shù)量為x（件），采購(gòu)單價(jià)為y₁（元/件），求y₁與x的關(guān)系式；
（2）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購(gòu)A產(chǎn)品的數(shù)量不少于B產(chǎn)品數(shù)量的

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，且A產(chǎn)品采購(gòu)單價(jià)不低于1200元，求該商家共有幾種進(jìn)貨方案；
（3）該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷售單價(jià)售出A，B兩種產(chǎn)品，且全部售完，在（2）的條件下，求采購(gòu)A種產(chǎn)品多少件時(shí)總利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)y₁與x的關(guān)系式y(tǒng)₁=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函數(shù)關(guān)系式即可求出；
（2）首先根據(jù)題意求出x的取值范圍，結(jié)合x為整數(shù)，即可判斷出商家的幾種進(jìn)貨方案；
（3）令總利潤(rùn)為W，根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)-成本列出W與x的函數(shù)關(guān)系式W=30x2-540x+12000，把一般式寫成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，求出二次函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）設(shè)y₁與x的關(guān)系式y(tǒng)₁=kx+b，
由表知

1480=k+b 1460=2k+b

，
解得k=-20，b=1500，
即y₁=-20x+1500（0＜x≤20，x為整數(shù)），

（2）根據(jù)題意可得

x≥ 11 9 (20-x) -20x+1500≥1200

，
解得11≤x≤15，
∵x為整數(shù)，
∴x可取的值為：11，12，13，14，15，
∴該商家共有5種進(jìn)貨方案；

（3）解法一：令總利潤(rùn)為W，
則W=30x²-540x+12000，
=30（x-9）²+9570，
∵a=30＞0，
∴當(dāng)x≥9時(shí)，W隨x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴當(dāng)x=15時(shí)，W_最大=10650；
解法二：根據(jù)題意可得B產(chǎn)品的采購(gòu)單價(jià)可表示為：
y₂=-10（20-x）+1300=10x+1100，
則A、B兩種產(chǎn)品的每件利潤(rùn)可分別表示為：
1760-y₁=20x+260，
1700-y₂=-10x+600，
則當(dāng)20x+260＞-10x+600時(shí)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)高于B產(chǎn)品的利潤(rùn)，
即x＞

34

3

=11

1

3

時(shí)，A產(chǎn)品越多，總利潤(rùn)越高，
∵11≤x≤15，
∴當(dāng)x=15時(shí)，總利潤(rùn)最高，
此時(shí)的總利潤(rùn)為（20×15+260）×15+（-10×15+600）×5=10650．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確銷售單價(jià)與銷售件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，會(huì)表達(dá)單件的利潤(rùn)及總利潤(rùn)，此題難度一般．