Question

作一個(gè)圖形關(guān)于一條直線的軸對(duì)稱圖形，再將這個(gè)軸對(duì)稱圖形沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做關(guān)于這條直線的滑動(dòng)對(duì)稱變換．在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖1），結(jié)合軸對(duì)稱和平移的有關(guān)性質(zhì)，解答以下問題：
（1）如圖2，在關(guān)于直線l的滑動(dòng)對(duì)稱變換中，試證明：兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，A′的連線被直線l平分；
（2）若點(diǎn)P是正方形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)角線AC滑動(dòng)對(duì)稱變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′也在正方形ABCD的邊上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺在圖3中畫出P′；
（3）定義：若點(diǎn)M到某條直線的距離為d，將這個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)N沿著與這條直線平行的方向平移到點(diǎn)M′的距離為s，稱[d，s]為點(diǎn)M與M′關(guān)于這條直線滑動(dòng)對(duì)稱變換的特征量．如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，將點(diǎn)C沿平行于y軸的方向向下平移到點(diǎn)B′．
①若點(diǎn)B（1，3）與B′關(guān)于y軸的滑動(dòng)對(duì)稱變換的特征量為[m，m+4]，判斷點(diǎn)B′是否在此函數(shù)的圖象上，為什么？
②已知點(diǎn)B與B′關(guān)于y軸的滑動(dòng)對(duì)稱變換的特征量為[d，s]，且不論點(diǎn)B如何運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B′也都在此函數(shù)的圖象上，判斷s與d是否存在函數(shù)關(guān)系？如果是，請(qǐng)寫出s關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定求出即可；
（2）連接BD交AC于O，作直線PO．即可得出答案；
（3）①根據(jù)已知求出b′的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式看看兩邊是否相等即可；②作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，求出C的坐標(biāo)，再根據(jù)平移規(guī)律得出即可．

解答：解：
（1）如圖1，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A′A″，
∵由題意知：A′A″∥直線l，
∴△AA′A″∽△ABO，
∵點(diǎn)B是AA″的中點(diǎn)，
∴

AO

AA′

=

AB

AA″

=

1

2

，
∴O為AA′的中點(diǎn)；

（2）連接BD交AC于O，連接PO并延長(zhǎng)交BD于P′，則P′為所求；

（3）①點(diǎn)B′不在雙曲線上，
理由是：∵點(diǎn)B（1，3）與B′關(guān)于y軸的滑動(dòng)對(duì)稱變換的特征量為[m，m+4]，
∴m=1，m+4=5，
∴B′的坐標(biāo)是（-1，-2），
把B′的坐標(biāo)代入雙曲線y=

3

x

，左右兩邊不相等，
∴點(diǎn)B′不在雙曲線上；
②s與d存在函數(shù)關(guān)系，
如圖3，作B關(guān)于直線y的對(duì)稱點(diǎn)C，連接B′C，
點(diǎn)B與B'關(guān)于y軸的滑動(dòng)對(duì)稱變換特征量為[d，s]
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（d，

3

d

），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-d，

3

d

）
∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（-d，

3

d

-s），
又∵點(diǎn)B'在函數(shù)y=

3

x

圖象上，
∴-d×(

3

d

-s)=3，
得d•s=6，則s=

6

d

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力，題目是一道比較典型的題目，比較好．