Question

如圖，直線y=-2x+8與兩坐標(biāo)軸分別交于P，Q兩點(diǎn)，在線段PQ上有一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A分別作兩坐標(biāo)軸的垂線，垂足分別為B、C．
（1）若四邊形ABOC的面積為6，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）有人說(shuō)，當(dāng)四邊形ABOC為正方形時(shí)，其面積最大，你認(rèn)為正確嗎？若正確，請(qǐng)給予證明；若錯(cuò)誤，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)矩形的面積公式列式求解即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出四邊形ABOC的面積表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可判斷解答．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A在線段PQ上，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，-2x+8），
∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，
∴四邊形ABOC是矩形，
面積為x（-2x+8）=6，
整理得，x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-2×1+8=6，
當(dāng)x=3時(shí)，y=-2×3+8=2，
所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，6）或（3，2）；

（2）不正確．理由如下：
∵點(diǎn)A在線段PQ上，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，-2x+8），
∵AB⊥x軸，AC⊥y軸，
∴四邊形ABOC是矩形，
四邊形ABOC面積y=x（-2x+8）=-2x²+8x=-2（x-2）²+8，
反例：當(dāng)x=2時(shí)，面積為8；此時(shí)不是正方形；
當(dāng)正方形時(shí)x=-2x+8，x=

8

3

，面積為

64

9

=7

1

9

＜8．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)一次函數(shù)的綜合考查，主要涉及直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表示，矩形的面積，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，比較簡(jiǎn)單．