Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，BC＝3，∠BAC＝30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM，ON上滑動．下列結論：①若C、O兩點關于AB對稱，則OA＝3；②若AB平分CO，則AB⊥CO；③C，O兩點間的最大距離是6；④斜邊AB的中點D運動的路徑長是π，其中正確的有（　　）

A. ①②B. ③④C. ②③④D. ①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①先根據直角三角形30°的性質和勾股定理分別求AC和AB，由對稱的性質可知：AB是OC的垂直平分線，所以OA=AC；
②如圖2，當∠ABO=30°時，易證四邊形OACB是矩形，此時AB與CO互相平分，但所夾銳角為60°，明顯不垂直，或者根據四點共圓可知：A、C、B、O四點共圓，則AB為直徑，由垂徑定理相關推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，但當這條弦也是直徑時，即OC是直徑時，AB與OC互相平分，但AB與OC不一定垂直；
③當OC經過AB的中點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；
④半徑為2，圓心角為90°，根據弧長公式進行計算即可．

解：在Rt△ABC中，∵BC＝3，∠BAC＝30°，

∴AB＝6，AC＝＝3，

①若C、O兩點關于AB對稱，

∴AB是OC的垂直平分線，

則OA＝AC＝3；

所以①正確；

②當∠ABO＝30°時，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，

∴四邊形AOBC是矩形，

∴AB與OC互相平分，

但AB與OC的夾角為60°、120°，不垂直，

所以②不正確；

③取AB的中點為E，連接OE、CE，

∵∠AOB＝∠ACB＝90°，

∴OE＝CE＝AB＝3

∵OC≤OE+EC，

∴當OC經過點E時，OC最大，

則C、O兩點距離的最大值為6；

所以③正確；

④斜邊AB的中點D運動路徑是：以O為圓心，以3為半徑的圓周的，

則：×2π3＝π，

所以④正確；

綜上所述，本題正確的有：①③④；

故選：D．