Question

【題目】已知，如圖，O為正方形對角線的交點，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連結(jié)DF，交BE的延長線于點G，連結(jié)OG．

（1）求證：△BCE≌△DCF．

（2）判斷OG與BF有什么關(guān)系，證明你的結(jié)論．

（3）若DF2=8-4，求正方形ABCD的面積？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．（2）OG∥BF且OG=BF；證明見解析．（3）2．

【解析】

試題（1）利用正方形的性質(zhì)，由全等三角形的判定定理SAS即可證得△BCE≌△DCF；

（2）首先證明△BDG≌△BGF，從而得到OG是△DBF的中位線，即可得出答案；

（3）設BC=x，則DC=x，BD=x，由△BGD≌△BGF，得出BF=BD，CF=（-1）x，利用勾股定理DF2=DC2+CF2，解得x2=2，即正方形ABCD的面積是2．

試題解析：（1）證明：在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）OG∥BF且OG=BF，

理由：如圖，

∵BE平分∠DBC，

∴∠2=∠3，

在△BGD和△BGF中，

，

∴△BGD≌△BGF（ASA），

∴DG=GF，

∵O為正方形ABCD的中心，

∴DO=OB，

∴OG是△DBF的中位線，

∴OG∥BF且OG=BF；

（3）設BC=x，則DC=x，BD=x，由（2）知△BGD≌△BGF，

∴BF=BD，

∴CF=（-1）x，

∵DF2=DC2+CF2，

∴x2+[（-1）x]2=8-4，解得x2=2，

∴正方形ABCD的面積是2．