Question

為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè),某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策:由政府協(xié)調(diào),本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售,成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件元,出廠價(jià)為每件元,每月銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù): ．
（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為元,那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元?
（2）設(shè)李明獲得的利潤為（元）,當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤?
（3）物價(jià)部門規(guī)定,這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于元,那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元?

Answer 1

（1）政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元;
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí),每月可獲得最大利潤4000元;
（3）銷售單價(jià)定為25元時(shí),政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元．

解析試題分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出銷售的件數(shù),然后求出政府承擔(dān)的成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià);
（2）由利潤=銷售價(jià)﹣成本價(jià),得w=（x﹣10）（﹣10x+500）,把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)坐標(biāo)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤;
（3）令﹣10x²+600x﹣5000=3000,求出x的值,結(jié)合圖象求出利潤的范圍,然后設(shè)設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價(jià)的最小值．
試題解析：（1）當(dāng)x=20時(shí),y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,
300×（12﹣10）=300×2=600元,
即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元;
（2）依題意得,w=（x﹣10）（﹣10x+500）
=﹣10x²+600x﹣5000
=﹣10（x﹣30）²+4000
∵a=﹣10＜0,∴當(dāng)x=30時(shí),w有最大值4000元．
即當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí),每月可獲得最大利潤4000元;
（3）由題意得：﹣10x²+600x﹣5000=3000,
解得：x₁=20,x₂=40．
∵a=﹣10＜0,拋物線開口向下,

∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時(shí),w≥3000．
又∵x≤25,
∴當(dāng)20≤x≤25時(shí),w≥3000．
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元,
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）
=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p隨x的增大而減小,
∴當(dāng)x=25時(shí),p有最小值500元．
即銷售單價(jià)定為25元時(shí),政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用．