Question

【題目】如圖，已知，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以，為邊在的同側(cè)作菱形和菱形．點(diǎn)，，在一條直線上，，、分別是對(duì)角線、的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)、之間的距離最短為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接PM、PN，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠CAP=30°，∠MPC=∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°，從而求出∠MPN=90°，設(shè)AP=x，則PB=2a－x，然后利用銳角三角函數(shù)求出PM和PN，然后利用勾股定理求出MN2與x的函數(shù)關(guān)系式，化為頂點(diǎn)式即可求出MN2的最小值，從而求出結(jié)論．

解：連接PM、PN

∵四邊形和四邊形為菱形，

∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM⊥AC，PN⊥EB，AC平分∠DAP，PM平分∠APC，PN平分∠EPB

∴∠CAP=30°，∠MPC=∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°

∴∠MPN=∠MPC＋∠EPN=90°

設(shè)AP=x，則PB=2a－x

∴PM=AP·sin∠CAP=，PN=PB·cos∠BPN=（2a－x）

在Rt△MON中

MN2= PM2＋PN2=＋（2a－x）2=（x－a）2＋a2

當(dāng)x=a時(shí)，MN2取最小值，最小為a2

∴MN的最小值為

故答案為：．