Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1分別與兩坐標(biāo)軸交于B，A兩點(diǎn)，C為該直線上的一動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A開始沿直線BA向上移動(dòng)，作等邊△CDE，點(diǎn)D和點(diǎn)E都在x軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=a（x﹣m）²+n經(jīng)過點(diǎn)E．⊙M與x軸、直線AB都相切，其半徑為3（1﹣）a．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和∠ABO的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，求a的值；
（3）點(diǎn)C移動(dòng)多少秒時(shí)，等邊△CDE的邊CE第一次與⊙M相切？

Answer 1

（1）A的坐標(biāo)是（0，1），∠ABO=30°；（2）﹣3；（3）4秒

試題分析：（1）已知直線AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A點(diǎn)坐標(biāo)；令y=0，能得到B點(diǎn)坐標(biāo)；在Rt△OAB中，知道OA、OB的長，用正切函數(shù)即可得到∠ABO的讀數(shù)．
（2）當(dāng)C、A重合時(shí)，就告訴了點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后結(jié)合OC的長以及等邊三角形的特性求出OD、OE的長，即可得到D、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可確定a的值．
（3）此題需要結(jié)合圖形來解，首先畫出第一次相切時(shí)的示意圖（詳見解答圖）；已知的條件只有圓的半徑，那么先連接圓心與三個(gè)切點(diǎn)以及點(diǎn)E，首先能判斷出四邊形CPMN是正方形，那么CP與⊙M的半徑相等，只要再求出PE就能進(jìn)一步求得C點(diǎn)坐標(biāo)；那么可以從PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得這兩個(gè)角的度數(shù)，通過解直角三角形不難得到PE的長，即可求出PE及點(diǎn)C、E的坐標(biāo)．然后利用C、E的坐標(biāo)確定a的值，進(jìn)而可求出AC的長，由此得解．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=-，
∴OA=1，OB=，

∴A的坐標(biāo)是（0，1）
∠ABO=30°．
（2）∵△CDE為等邊△，點(diǎn)A（0，1），

∴D的坐標(biāo)是（，0），E的坐標(biāo)是（，0），
把點(diǎn)A（0，1），D（，0），E（，0），代入 y=a（x-m）²+n，
解得：a=-3．
（3）如圖，設(shè)切點(diǎn)分別是Q，N，P，連接MQ，MN，MP，ME，過點(diǎn)C作CH⊥x軸，H為垂足，過A作AF⊥CH，F(xiàn)為垂足．

∵△CDE是等邊三角形，∠ABO=30°
∴∠BCE=90°，∠ECN=90°
∵CE，AB分別與⊙M相切，∴∠MPC=∠CNM=90°，∴四邊形MPCN為矩形，∵M(jìn)P=MN
∴四邊形MPCN為正方形
∴MP=MN=CP=CN=3（1-）a（a＜0）．
∵EC和x軸都與⊙M相切，∴EP=EQ．
∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°
∴∠EMQ=30°，∴在Rt△MEP中，tan30°=，∴PE=（-3）a
∴CE=CP+PE=3（1-）a+（-3）a=-2a
∴DH=HE=-a，CH=-3a，BH=-3a，
∴OH=-3a-，OE=-4a-
∴E（-4a-，0）
∴C（-3a-，-3a）
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x+3a+）²-3a
∵E在該拋物線上
∴a（-4a-+3a+）²-3a=0
得：a²=1，解之得a₁=1，a₂=-1
∵a＜0，∴a=-1
∴AF=2，CF=2，∴AC=4
∴點(diǎn)C移動(dòng)到4秒時(shí)，等邊△CDE的邊CE第一次與⊙M相切．
點(diǎn)評：本題難度在于涉及到動(dòng)點(diǎn)問題，許多數(shù)值都不是具體值；（3）題中，正確畫出草圖、貫徹?cái)?shù)形結(jié)合的解題思想是關(guān)鍵．