Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)O為AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，半徑為1cm的圓與AB相切，點(diǎn)E為切點(diǎn)．
（1）求線段AO的長(zhǎng)；
（2）若將⊙O以1cm/s的速度移動(dòng)，移動(dòng)中的圓心記為P，點(diǎn)P沿O?C?B?A的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（s），則當(dāng)t為何值時(shí)，⊙P與直線CD相切？

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，易得∠A的正弦值，進(jìn)而可在Rt△AOE中，根據(jù)OE的長(zhǎng)求得OA的值．
（2）當(dāng)⊙P與CD相切時(shí)，一共有四個(gè)時(shí)間點(diǎn)：
①當(dāng)P在線段AC上與CD相切時(shí)，過(guò)P作CD的垂線，設(shè)垂足為G，由于D是AB中點(diǎn)，易知∠DCA=∠A，因此根據(jù)∠A的正弦值即可得PC的值，進(jìn)而可求得OP的長(zhǎng)，即可得t的值；
②當(dāng)P在線段BC上且與CD相切時(shí)，解法同①；
③當(dāng)P在線段BD上與CD相切時(shí)，過(guò)P作CD的垂線，設(shè)垂足為M；那么關(guān)鍵是求出PD的長(zhǎng)，過(guò)P作PQ⊥CD于Q，易得△ABC的面積，由于D是AB中點(diǎn)，則△BCD的面積是△ABC面積的一半，那么可根據(jù)△BCD的面積來(lái)求得BQ的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)△PDM∽△BDQ來(lái)得到DP的長(zhǎng)，從而求得BP+BC+OC的值，即可得t的值；
④當(dāng)P在線段AD上與CD相切時(shí)，解法同③．

解答：解：（1）Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=5cm；
則sin∠A=

3

5

；
由于BA切⊙O于E，則∠OEA=90°；
在Rt△OEA中，AO=OE÷sin∠A=

5

3

cm．

（2）如圖；
①當(dāng)P位于線段OC上時(shí)，設(shè)⊙P與CD的切點(diǎn)為G，則P₁G⊥CD；
由于D是AB的中點(diǎn)，所以CD=DA，即∠DCA=∠A，
因此P₁C=OA=

5

3

cm，OP₁=AC-2OA=

2

3

cm，
∴t=

2

3

s；
②當(dāng)P位于線段CB上時(shí)，設(shè)⊙P與CD的切點(diǎn)為H，則P₂H⊥CD；
同①可得：P₂C=

5

4

cm，因此P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：
OC+P₂C=

7

3

+

5

4

=

43

12

cm，即t=

43

12

s；
③當(dāng)P位于線段BD上時(shí)，P₃M⊥CD，過(guò)B作BQ⊥CN于Q；
易知：S_△ABC=6cm²，由于D是AB中點(diǎn)，則S_△BCD=3cm²；
而CD=

1

2

AB=

5

2

cm，可求得CD邊上的高為：BQ=

12

5

cm；
易知：△PDM∽△BDQ，則

P3M

BQ

=

P3D

BD

，即

1

12 5

=

P3D

5 2

，P₃D=

25

24

cm；
因此P₃B+BC+OC=

163

24

cm，即t=

163

24

s；
④當(dāng)P位于線段AD上時(shí)，同③可求得t=

213

24

s；
綜上可知：當(dāng)t分別為

2

3

s、

43

12

s、

163

24

s、

213

24

s時(shí)，⊙P與直線CD相切．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)，還涉及到解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，要注意（2）題中分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，不要漏解．