Question

【題目】如圖1， ABCD和AEFG是兩個(gè)能完全重合的平行四邊形，現(xiàn)從AB與AE重合時(shí)開(kāi)始，將ABCD固定不動(dòng)， AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），AB=a,BC=2a；并發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)AEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在AD上時(shí)，FE的延長(zhǎng)線恰好通過(guò)點(diǎn)C.

探究一:

（1）在圖2的情形下，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；

探究二:

（2）如圖3，當(dāng)AEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在BC上時(shí)，EF與AD相交于點(diǎn)M，連接CM，DF，請(qǐng)你判斷四邊形CDFM的形狀，并給予證明；

探究三:

（3）如圖1，連接CF，BF，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△BCF的面積是否存在最大的情形，如果存在，求出最大面積，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）α=120°；（2）四邊形CDFM是菱形，證明見(jiàn)解析；（3）存在△BCF的面積最大的情形，S△BCF =a2.

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)知

∠D=∠B，AB=CD=a，可得∠D=∠DEC，由等角對(duì)等邊知CD=CE，由AE=AB=a，AD=BC=2a，可得DE=CE，即可證得△CDE是等邊三角形，∠D=60°，由兩直線平行，同位角相等可得∠DAB=120°，即可求得α；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及∠B=60°，可得△ABE是等邊三角形，由平行線的判定以及兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證四邊形ABEM是平行四邊形，再由由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；

（3）當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離最大時(shí)，△BCF的面積最大，由于點(diǎn)F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)FG與⊙A相切時(shí)，點(diǎn)F到BC的距離最大，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接AF，由題意知∠AFG=90°.由∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，可得AH、AF的值.可求得點(diǎn)F到BC的最大距離.進(jìn)而求得S△BCF的值.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠D=∠B，AB=CD=a，

∵∠AEF=∠B，∠AEF=∠DEC，

∴∠D=∠DEC，

∴CD=CE，

∵AE=AB=a，AD=BC=2a，

∴DE=CE.，

∴CD=CE=DE，

∴△CDE是等邊三角形，

∴∠D=60°，

∵CD∥AB，

∴∠D+∠DAB=180°，

∴∠DAB=120°，

∴α=120°.；

（2）四邊形CDFM是菱形.

證明：由旋轉(zhuǎn)可得AB=AE，

∵∠B=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠BAE=60°，

∴∠BAG=∠BAE+∠GAE=60°+120°=180°，

∴點(diǎn)G，A，B在同一條直線上，

∴ME ∥AB，BE∥AM，

∴四邊形ABEM是平行四邊形，

∴AM=AB=ME，

∴CD=DM=MF，

∵CD ∥AB∥MF，

∴四邊形CDFM是平行四邊形，

∵∠D= 60°，CD=DM，

∴△CDM是等邊三角形，

∴CD=DM，

∴四邊形CDFM是菱形；

（3）存在△BCF的面積最大的情形.

∵CB的長(zhǎng)度不變，

∴當(dāng)點(diǎn)F到BC的距離最大時(shí)，△BCF的面積最大.

∵點(diǎn)F始終在以A為圓心AF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)FG與⊙A相切時(shí)，點(diǎn)F到BC的距離最大，

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，連接AF，

則∠AFG=90°.

∵∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，

∴AH=AB×sin60°=a，AF=AG×sin60°= a.

∴點(diǎn)F到BC的最大距離為a+ a=a.

∴S△BCF=×2a×a=a2.