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        1. 操作與探究:
          把兩塊全等的等腰直角△ABC和△DEF疊放在一起,使△DEF的頂點E與△ABC的斜邊中點O重合,其中∠BAC=∠EDF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,將△ABC固定不動,讓△DEF繞點O旋轉(zhuǎn).設(shè)射線ED與射線CA相交于點P,射線EF與射線AB相交于點Q.
          (1)如圖①,當射線EF經(jīng)過點A,即點Q與點A重合時,試說明△COP∽△BAO,并求CP•BQ值.
          (2)如圖②,若△DEF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),當旋轉(zhuǎn)角小于45°時,問CP•BQ的值是否改變?說明你的理由.
          (3)若△DEF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),當旋轉(zhuǎn)角大于45°而小于90°時,請在圖③中畫出符合條件的圖形,并寫出CP•BQ的值.(不用說明理由)
          分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得△COP∽△BAO,并由相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求CP•BQ值;
          (2)、(3)不會改變,關(guān)鍵是還是證△COP∽△BQO,已知了一組45°角,關(guān)鍵是證(1)中的∠OPC=∠QOB,由于圖2由圖1旋轉(zhuǎn)而得,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,那么∠COP=45°+α,∠BQO=45°+α,因此兩角相等.由此可證得兩三角形相似.因此結(jié)論不變.
          解答:(1)解:∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,
          ∴∠B=∠C=∠F=∠FED=45°.
          ∵△ABC是等腰直角三角形,點O是斜邊BC的中點,
          ∴∠BAO=∠FOD=45°,∠AOB=90°,
          ∴AB∥OD,
          ∴∠OPC=∠AOB=90°,
          ∴△COP∽△BAO,
          ∴CP:BO=CO:BA,即CP:BO=CO:BQ,
          ∴CP•BQ=BO×CO,
          ∵AB=AC=4,
          ∴BE=CE=2
          2
          ,
          ∴CP•BQ=BO×CO=2
          2
          ×2
          2
          =8;

          (2)CP•BQ的值是8.
          證明:在△COP與△BQO中,
          ∠C=∠B=45°,∠COP=45°+α,而∠BQO=180°-45°-(90°-α)=45°+α,
          ∴∠COP=∠BQO,
          ∴△COP∽△BQO,
          CP:BO=CO:BQ,
          ∴CP•BQ=BO×CO,
          ∵AB=AC=4,
          ∴BE=CE=2
          2

          ∴CP•BQ=BO×CO=2
          2
          ×2
          2
          =8;

          (3)解:如圖,同理可說明
          CP•BQ=8.
          點評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用,有一定難度,要對各部分知識都要熟練掌握.
          練習(xí)冊系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•臨汾二模)操作與證明
          把兩個全等的含45°角的三角板按如圖所示的位置放置,使B、A、D在一條直線上,C、A、E在一條直線上,過點C作CM⊥BD于M,過點E作EF∥BD;直線CM與EF相交于點F.
          (1)求證:△CEF是等腰直角三角形.
          猜想與發(fā)現(xiàn)
          (2)在圖1的條件下,CF與BD的數(shù)量關(guān)系為
          CF=
          1
          2
          BD
          CF=
          1
          2
          BD

          (3)如圖2若把圖1中Rt△ADE換為Rt△ABC不全等但相似的三角板時,其他條件不變,此時CF與BD的數(shù)量關(guān)系為
          CF=
          1
          2
          BD
          CF=
          1
          2
          BD

          拓展與探究
          (4)如圖3若將圖1中的兩塊三角板換成任意兩個全等的直角三角形(Rt△ABC≌Rt△DAE),使銳角頂點A重合,點C、A、E在一條直線上,連接BD交AC于G,過點C作CM⊥BD于M,過點E作EF∥BD,直線CM與EF于點F,圖1中CF與BD的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明你的理由.

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