Question

【題目】已知如圖，在 ABC 中，BAC 90° ,分別過頂點(diǎn) B、C 作 A 點(diǎn)的直線的垂線垂足分別為 D、E,試探究線段 BD、CE、DE 之間的關(guān)系.

(1)當(dāng)直線 DE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖 1 的位置，直接寫出 BD、CE、DE 之間的數(shù)量 為 ；

(2)當(dāng)直線 DE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖 2 的位置，直接寫出 BD、CE、DE 之間的數(shù)量 為 ；

(3)當(dāng)直線 DE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至如圖 3 的位置，寫出 BD、CE、DE 之間的數(shù)量，并證明 你的結(jié)論；

(4)如圖 4，如果將 ABC 放在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-1,1),求 OB-OC 的 值.請(qǐng)寫出必要的解答步驟.

Answer 1

【答案】（1）DE=BD+CE；（2）DE=BD-CE；（3）DE=CE-BD，證明見解析；（4）2

【解析】

（1）∠ ADB=∠ AEC=90°，轉(zhuǎn)換得到∠ DBA=∠ EAC，證明△ DAB≌△ ECA，即可得出線段 BD、CE、DE 之間的關(guān)系；（2）（3）同理可證△ DAB≌△ ECA即可求出BD、CE、DE 之間的關(guān)系；（4）作AD垂直與y軸于點(diǎn)D，作AE垂直于x軸于點(diǎn)E，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,1），則四邊形AEOD為正方形，證明△ BAE≌△ CAD，即可算出OB-OC的值

（1）∵BD⊥ DE，CE⊥ DE，

∴∠ ADB=∠ AEC=90°，

∵∠ BAC=90°，

∴∠ DAB+∠ EAC=90°，∠ DAB+∠ DBA=90°，

∴∠ DBA=∠ EAC，

在△ DAB和△ ECA中

∴△ DAB≌△ ECA（AAS）

∴DB=EA，DA=EC，

∴ DE=BD+CE；

（2）∵∠ BAC=90°，

∴∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠DBA=∠EAC，

在△ DAB和△ ECA中

∴△DAB≌△ECA（AAS）

∴DB=EA，DA=EC，

∴ DE=BD-CE；

（3）∵∠ BAC=90°，

∴∠DAB+∠EAC=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∴∠DBA=∠EAC，

在△ DAB和△ ECA中

∴△DAB≌△ECA（AAS）

∴DB=EA，DA=EC，

∴ DE=CE-BD；

（4）如圖，作AD垂直與y軸于點(diǎn)D，作AE垂直于x軸于點(diǎn)E，

∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,1），

∴∠ADC=∠AEO=90°，AE=AD=1，

∴四邊形AEOD為正方形，

∴∠ EAD=90°，

∴∠EAC+∠ DAC=90°，∠ EAC+∠ BAE=90°，

∴∠ BAE=∠ CAD，

在△ BAE和△ CAD中

∴△ BAE ≌△ CAD（AAS）

∴BE=DC，

∴OB=OE+BE，OC=CD-OD，

∴OB-OC=（OE+EB）-（CD-OD）=OE+OD=2