Question

【題目】定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．

（問(wèn)題理解）

(1)如圖1，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、CD．

求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；

（拓展探究）

(2)如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（升華運(yùn)用）

(3)如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) AC平分∠BCD，理由見解析；(3) AF＝4．

【解析】

（1）由圓內(nèi)接四邊形互補(bǔ)可知∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°，再證AD=CD，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF垂直CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；
（3）連接AC，先證∠EAD=∠BCD，推出∠FCA=∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出AF的長(zhǎng)．

(1)證明：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形

∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°.

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD＝∠CBD

∴弧AD＝弧CD

∴AD＝CD

∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形

(2)AC平分∠BCD，理由如下：

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F則

∠AEB＝∠AFD＝90°

∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形

∴∠ADC+∠B＝180°

又∵∠ADC+∠ADF＝180°

∴∠B＝∠ADF

在△AFD與△AEB中

∴≌

∴

∴點(diǎn)A一定在∠BCD的平分線上

即AC平分∠BCD.

(3)連接AC

同(2)理得∠EAD＝∠BCD

由(2)知AC平分∠BCD所以∠FCA＝∠BCD

同理∠FAD＝∠EAD

∴∠FCA＝∠FAD.

又∵∠F＝∠F

∴△FAD∽△FCA

∴

即

∴AF＝4