Question

（根據(jù)課本習(xí)題改編）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接正方形，若設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，容易算出x的長(zhǎng)為

60

37

．
探究與計(jì)算：
（1）如圖2，若三角形內(nèi)有并排的兩個(gè)全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，則正方形的邊長(zhǎng)為

 

；
（2）如圖3，若三角形內(nèi)有并排的三個(gè)全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，則正方形的邊長(zhǎng)為

 

；
（3）如圖4，若三角形內(nèi)有并排的n個(gè)全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，請(qǐng)你猜想正方形的邊長(zhǎng)是多少？并對(duì)你的猜想進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比可列出關(guān)于x的方程求解即可．如三角形內(nèi)有并排的n個(gè)全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x，則過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB，垂足為N，交GF于點(diǎn)M，易得△CGF∽△CAB，所以

CM

CN

=

GF

AB

，即

12 5 -x

12 5

=

nx

5

解得x=

60

25+12n

．

解答：解：（1）

60

49

；（2分）

（2）

60

61

；（2分）

（3）若三角形內(nèi)有并排的n個(gè)全等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，正方形的邊長(zhǎng)是

60

25+12n

．（2分）
證明，如圖，
過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB，垂足為N，交GF于點(diǎn)M，
設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，
∵四邊形GDEF為矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，
易算出CN=

12

5

，
∴

CM

CN

=

GF

AB

，即

12 5 -x

12 5

=

nx

5

，
∴x=

60

25+12n

．
即小正方形的邊長(zhǎng)是

60

25+12n

．（4分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)．會(huì)利用三角形相似中的相似比來(lái)得到相關(guān)的線段之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．