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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的兩個頂點(diǎn)B和C在x軸上,OB=OC,AB=2BC=4.若一條拋物線的頂點(diǎn)為A,且過點(diǎn)C,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動,同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動,點(diǎn)P,Q的運(yùn)動速度均為每秒1個單位,運(yùn)動時間為t秒.過點(diǎn)P作PEAB交AC于點(diǎn)E.

          (1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo),并求出拋物線的解析式;

          (2)過點(diǎn)E作EFAD于F,交拋物線于點(diǎn)G,當(dāng)t為何值時,ACG的面積S最大?最大值為多少?

          (3)在動點(diǎn)P,Q運(yùn)動的過程中,是否存在點(diǎn)M,使以C,Q,E,M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)A(﹣1,4),y=﹣x2﹣2x+3;(2)t=2時,S的最大值為1;(3)t=20﹣8或t=

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點(diǎn)A的坐標(biāo);由頂點(diǎn)A的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式方程為y=a(x﹣1)2+4,然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入,即可求得系數(shù)a的值(利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式);

          (2)利用待定系數(shù)法求得直線AC的方程y=﹣2x+6;由圖形與坐標(biāo)變換可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,4﹣t),據(jù)此可以求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo),將其代入直線AC方程可以求得點(diǎn)E或點(diǎn)G的橫坐標(biāo);然后結(jié)合拋物線方程、圖形與坐標(biāo)變換可以求得GE=4﹣、點(diǎn)A到GE的距離為,C到GE的距離為2﹣;最后根據(jù)三角形的面積公式可以求得SACG=SAEG+SCEG=﹣(t﹣2)2+1,由二次函數(shù)的最值可以解得t=2時,SACG的最大值為1;

          (3)因?yàn)榱庑问青忂呄嗟鹊钠叫兴倪呅,所以點(diǎn)H在直線EF上.

          解:(1)在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的兩個頂點(diǎn)B和C在x軸上,OB=OC,AB=2BC=4,

          A(﹣1,4).得C(1,0)

          設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)2+4,把C(1,0)代入得:a=﹣1,

          拋物線的解析式為y=﹣(x+1)2+4,即y=﹣x2﹣2x+3;

          (2)A(﹣1,4),C(1,0),

          可求直線AC的解析式為y=﹣2x+2.

          點(diǎn)P(﹣1,4﹣t).

          將y=4﹣t代入y=﹣2x+2中,解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=﹣1+

          點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為﹣1+,代入拋物線的解析式中,可求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為4﹣

          GE=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣

          又點(diǎn)A到GE的距離為,C到GE的距離為2﹣

          即S=SAEG+SCEG=EGx +xEGx(2﹣

          =x2x(t﹣)=﹣(t﹣2)2+1.

          當(dāng)t=2時,S的最大值為1;

          (3)第一種情況如圖1所示,點(diǎn)H在AC的上方,由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t,

          根據(jù)APE∽△ABC,知=,即=,

          解得t=20﹣8;

          第二種情況如圖2所示,點(diǎn)H在AC的下方,由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t,PE=t,EM=2﹣t,MQ=4﹣2t.

          則在直角三角形EMQ中,根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2﹣t)2+(4﹣2t)2=t2,

          解得,t1=,t2=4(不合題意,舍去).

          綜上所述,t=20﹣8或t=

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