Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A
在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（0 , 4），D為OC的中點.
小題1:（1）求m的值；
小題2:（2）拋物線的對稱軸與x軸交于點E，在直線AD上是否存在點F，使得以點A、B、F為頂點的三角形與 相似？若存在，請求出點F的坐標，若不存在，請說明理由； 
小題3:（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使△GBC中BC邊上的高為？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

小題1:解：（1）拋物線與y軸交于點C（0 , 4），
∴    
∴ 
小題2:（2）拋物線的解析式為 .
可求拋物線與x軸的交點A（-1，0），B（4，0）.
可求點E的坐標.
由圖知，點F在x軸下方的直線AD上時，是鈍角三角形，不可能與相似，所以點F一定在x軸上方.
此時與有一個公共角，兩個三角形相似存在兩種情況：
① 當(dāng)時，由于E為AB的中點，此時D為AF的中點，
可求 F點坐標為（1，4）.                      ………3分
② 當(dāng)時，.
過F點作FH⊥x軸，垂足為H.
可求 F的坐標為.                      ……………4分
（3）   
（4）   
小題3:(3) 在拋物線的對稱軸上存在符合題意的點G .
由題意，可知△OBC為等腰直角三角形，直線BC為
可求與直線BC平行且的距離為的直線為 y=-x+9或y=-x-1.
…………………6分
∴ 點G在直線y=-x+9或y=-x-1上.
∵ 拋物線的對稱軸是直線,
∴        解得
或      解得
∴ 點G的坐標為. 

略