Question

已知：如圖，點P是邊長為4的正方形ABCD的邊AD上一點并且不與點A、D重合，MN是線段BP的垂直平分線，與AB、BP、CD分別交于點M、O、N，設AP=x．
（1）求BM（結果用含有x的代數(shù)式表示）；
（2）請你判斷四邊形MNCB的面積是否有最小值？若有最小值，求出使其面積取得最小值時的x的值并求出面積的最小值；若沒有最小值，說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）首先由正方形的性質與線段垂直平分線的性質求得BP與OB的值，又由∠ABP是公共角，∠A=∠MOB，易得Rt△BOM∽Rt△BAP，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得BM的長；
（2）首先作NE⊥AB于E，由（1）可得Rt△BOM∽Rt△BAP，則可證得：Rt△MNE≌Rt△PBA，即可求得CN的值，求得四邊形MNCB的最大值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是邊長為4的正方形，MN是PB的垂直平分線，
∴∠A=90°，∠MOB=90°，OB=

1

2

BP，
∴BP=

42+x2

=

16+x2

，OB=

1

2

16+x2

，
又∵∠ABP是公共角，∠A=∠MOB，
∴Rt△BOM∽Rt△BAP．
∴

OB

AB

=

MB

PB

，
即MB•AB=OB•PB，
∴4MB=

1

2

16+x2

•

16+x2

=

1

2

x2+8，
∴BM=

1

8

x2+2．

（2）四邊形MNCB的面積有最小值．
作NE⊥AB于E，
則∠MEN=∠BEN=90°=∠A，NE=BC=BA=4，
由（1）知Rt△BOM∽Rt△BAP，
∴∠NME=∠APB，
∴Rt△MNE≌Rt△PBA，
∴ME=PA=x，
∴CN=BE=MB-ME=

1

8

x²-x+2，
∴S_{四邊形MNCB}=

1

2

（CN+MB）•NE=

1

2

[（

1

8

x²-x+2）+（

1

8

x²+2）]•4=

1

2

（x-2）²+6，
∴當x=2時，四邊形MNCB的面積有最小值6．

點評：本小題主要考查運用三角形相似解決相關的問題的能力與數(shù)形結合的能力以及運算能力．此題屬綜合性題目，屬較難的題目，解題時要注意數(shù)形結合思想的應用．