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        1. 【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點,矩形OABC的位置如圖所示,點A,C的坐標(biāo)分別為(10,0),(0,8).點P是y軸正半軸上的一個動點,將OAP沿AP翻折得到O′AP,直線BC與直線O′P交于點E,與直線OA'交于點F.

          (1)當(dāng)點P在y軸正半軸,且OAP=30°時,求點O′的坐標(biāo);

          (2)當(dāng)O′落在直線BC上時,求直線O′A的解析式;

          (3)當(dāng)點P在矩形OABC邊OC的運動過程中,是否存在某一時刻,使得線段CF與線段OP的長度相等?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)點O′的坐標(biāo)為(5,5).(2)直線O′A的解析式為y=x﹣(3)當(dāng)點P在矩形OABC邊OC的運動過程中,存在某一時刻,使得線段CF與線段OP的長度相等,點P的坐標(biāo)為(0,)或(0,).

          【解析】

          試題分析:(1)連接O′O,作O′GOA于點G,根據(jù)AO=AO′,O′AO=2OPA=60°,即可得出O′AO是等邊三角形,再結(jié)合點A的坐標(biāo)即可得出點O′的坐標(biāo);

          (2)設(shè)直線O′A的解析式為y=kx+b,根據(jù)勾股定理可得出BO′的長度,再根據(jù)O′在線段BC上和O′在CB延長線上分兩種情況考慮,由此即可得出點O′的坐標(biāo),結(jié)合點AO′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出直線O′A的解析式;

          (3)假設(shè)存在,設(shè)點P(0,m),根據(jù)點O′在直線BC的上下兩側(cè)來分類討論.根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等的角從而得出兩三角形相似,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或等角的三角函數(shù)值相等)找出邊與邊之間的關(guān)系,由此即可列出關(guān)于m的方程,解方程即可得出結(jié)論.

          解:(1)連接O′O,作O′GOA于點G,如圖1所示.

          O′AO=2OPA=60°,AO=AO′,

          ∴△O′AO是等邊三角形,

          點A的坐標(biāo)為(10,0),

          OA=10,OG=OA=5,O′G=OA=5,

          點O′的坐標(biāo)為(5,5).

          (2)設(shè)直線O′A的解析式為y=kx+b.

          在RtABO′中,AO′=10,AB=8,

          BO′6,

          ①當(dāng)O′在線段BC上時,CO′=10﹣6=4,

          點O′的坐標(biāo)為(4,8),

          則有,解得:,

          此時直線O′A的解析式為y=﹣x+;

          ②當(dāng)O′在CB延長線上時,CO′=10+6=16,

          點O′的坐標(biāo)為(16,8),

          則有,解得:

          此時直線O′A的解析式為y=x﹣

          (3)假設(shè)存在,由點O′的位置不同分兩種情況:

          ①當(dāng)點O′在BC的上方時,設(shè)點P(0,m),過點O′作O′GOA于點G,過點P作PQO′G于點Q,如圖2所示.

          OP=CF,

          BF=BC﹣CF=10﹣m,

          點C(0,8),

          AB=OC=8.

          在RtABF中,AB=8,BF=10﹣m,

          AF==

          O′Gx軸,ABOA,

          O′GAB,

          ∴△O′GA∽△ABF,

          ,

          O′G=,AG=,

          O′Q=O′G﹣OP=﹣m,PQ=OA﹣AG=10﹣

          ∵∠PO′Q+O′PQ=90°,PO′Q+AO′G=90°,

          ∴∠O′PQ=AO′G=FAB,

          PQ==10﹣,

          解得:m1=,m2=10,

          經(jīng)檢驗m1=是分式方程的解,

          此時點P的坐標(biāo)為(0,);

          ②當(dāng)點O′在BC的下方時,設(shè)AF與y軸的交點為M,如圖3所示.

          設(shè)點P(0,m),則CF=OP=m,

          BF=10+m,AB=8,OA=10,AF==

          BCAO,

          ∴∠AFB=MAO,

          ,

          OM=

          PM=OM﹣OP=﹣m,

          ∵∠MPO′與AMO互余,

          ∴∠MPO′=AFB,

          ,即,

          解得:m3=,m4=﹣10(舍去),

          經(jīng)檢驗m3=是分式方程的解,

          此時點P的坐標(biāo)為(0,).

          綜上可知:當(dāng)點P在矩形OABC邊OC的運動過程中,存在某一時刻,使得線段CF與線段OP的長度相等,點P的坐標(biāo)為(0,)或(0,).

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