Question

（2013•宿城區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，⊙M的半徑為

10

．
（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN∥BC，交AC于點(diǎn)N，連接CP，當(dāng)△PNC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D（2，k）在（1）中拋物線上，點(diǎn)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過M作MK⊥y軸，連接MC，由勾股定理求出CK的值，進(jìn)而求出OK的值，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度，問題得解；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，因?yàn)锽C∥PN，所以△APN∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等，進(jìn)而用含有m的代數(shù)式表示出NH，再利用S_△PNC=S_△ACP-S_△APN求出三角形PNC的面積，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出當(dāng)△PNC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）存在．首先根據(jù)已知條件求出D的坐標(biāo)，然后討論：當(dāng)AF為平行四邊形的邊時(shí)，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到F的坐標(biāo)；當(dāng)AF為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，分別求出滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）過M作MK⊥y軸，連接MC，
由勾股定理得CK=3，
∴OK=1，
∴m=-1．    
過點(diǎn)M作MQ⊥x軸，連接MB，
由勾股定理得BQ=3，
∴B（4，0），
又M在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴A（-2，0），
∴

16a+4b-4=0 4a-2b-4=0

，
解得：

a= 1 2 b=-1

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2-x-4；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H（如圖）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
∴AB=6，AP=m+2，
∵BC∥PN，
∴△APN∽△ABC，
∴

NH

CO

=

AP

AB

，
∴

NH

4

=

m+2

6

，
∴NH=

2

3

（m+2），
∴S_△PNC=S_△ACP-S_△APN=

1

2

AP•OC-

1

2

AP•HN=

1

2

（m+2）[4-

2

3

（m+2）]=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

（m-1）²+3，
∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△PNC有最大值3．此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；

（3）在x軸上存在點(diǎn)F，使以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
F₁（0，0）、F₂（-4，0）、F3(5+

17

，0)、F4(5-

17

，0)．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，分別考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生有很強(qiáng)的綜合分析問題，解決問題的能力，同時(shí)相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)也熟練掌握．