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        1. (北師大版)已知:將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖1擺放,點(diǎn)E、A、D、B在一條直線(xiàn)上,且D是AB的中點(diǎn).將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線(xiàn)DE、AC相交于點(diǎn)M,直線(xiàn)DF、BC相交于點(diǎn)N,分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn),垂足為G、H.
          (1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
          (2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
          (3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說(shuō)明理由.

          【答案】分析:(1)由題意易證出AG=AD,DH=DB,而AD=DB,可得AG=DH;
          (2)可由證△AMD≌△DNB,再證△AMG≌△DNH,證出AG=DH;
          (3)可證Rt△AGM∽R(shí)t△NHB,Rt△DGM∽R(shí)t△NHD,證出AG=DH.
          解答:解:(1)∵α=30°,
          ∴∠ADM=30°,
          ∵∠A=30°,
          ∴∠ADM=∠A.
          ∴AM=DM.
          又∵M(jìn)G⊥AD于G,
          ∴AG=AD.
          ∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°,∠B=60°,
          ∴△CDB是等邊三角形.
          又∵CH⊥DB于H,
          ∴DH=DB.
          ∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
          ∴BC=AB.
          ∵BC=BD,
          ∴AD=DB.
          ∴AG=DH.

          (2)結(jié)論成立.理由如下:
          在△AMD與△DNB中,∠A=∠NDB=30°,AD=DB,∠MDA=∠B=60°,
          ∴△AMD≌△DNB,
          ∴AM=DN.
          又∵在△AMG與△DNH中,∠A=∠NDB,∠MGA=∠NHD=90°,
          ∴△AMG≌△DNH.
          ∴AG=DH.

          (3)方法一:解:結(jié)論成立.
          Rt△AGM∽R(shí)t△NHB,Rt△DGM∽R(shí)t△NHD.
          ∵∠C=∠MDN=90°
          ∴C,D兩點(diǎn)在以MN為直徑的圓上,
          ∴C,M,D,N四點(diǎn)共圓
          ∴∠DNM=∠DCA=30°,
          ∴DN=DM
          又∵△DGM∽△NHD,
          ∴DH=MG=AG.
          方法二:
          解:當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論成立.
          在Rt△AMG中,∠A=30°,
          ∴∠AMG=60°=∠B.
          又∠AGM=∠NHB=90°,
          ∴△AGM∽△NHB.

          ∵∠MDG=α,
          ∴∠DMG=90°-α=∠NDH.
          又∠MGD=∠DHN=90°,
          ∴Rt△MGD∽R(shí)t△DHN.
          =
          ①×②,得.=
          由比例的性質(zhì),得 =
          ∵AD=DB,
          ∴AG=DH.
          點(diǎn)評(píng):此題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn),直角三角形的性質(zhì),三角形全等的判定,三角形相似的判定及性質(zhì)的靈活運(yùn)用.此題用同學(xué)們常用的一副三角板作為情境,培養(yǎng)同學(xué)們靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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          (1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
          (2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
          (3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說(shuō)明理由.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:第25章《圖形的變換》中考題集(20):25.2 旋轉(zhuǎn)變換(解析版) 題型:解答題

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          (1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
          (2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
          (3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:第29章《相似形》中考題集(21):29.5 相似三角形的性質(zhì)(解析版) 題型:解答題

          (北師大版)已知:將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖1擺放,點(diǎn)E、A、D、B在一條直線(xiàn)上,且D是AB的中點(diǎn).將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線(xiàn)DE、AC相交于點(diǎn)M,直線(xiàn)DF、BC相交于點(diǎn)N,分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn),垂足為G、H.
          (1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
          (2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
          (3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:第3章《圖形的相似》中考題集(21):3.3 相似三角形的性質(zhì)和判定(解析版) 題型:解答題

          (北師大版)已知:將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖1擺放,點(diǎn)E、A、D、B在一條直線(xiàn)上,且D是AB的中點(diǎn).將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直線(xiàn)DE、AC相交于點(diǎn)M,直線(xiàn)DF、BC相交于點(diǎn)N,分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn),垂足為G、H.
          (1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
          (2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
          (3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2006年湖北省武漢市中考數(shù)學(xué)試卷(課標(biāo)卷)(解析版) 題型:解答題

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          (1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
          (2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由;
          (3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說(shuō)明理由.

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