Question

如圖，已知矩形OABC，點(diǎn)P在邊OA上（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)Q在邊CO上（不與端點(diǎn)重合）．
（1）如圖（1），若∠BPQ=90°，且△OPQ與△PAB和△QPB相似，請(qǐng)寫(xiě)出表示這三個(gè)三角形相似的式子，并探究此時(shí)線段OQ、QB、BA之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）若∠PQB=90°，且△OPQ與△PAB、△QPB都相似，如圖（2），請(qǐng)重新寫(xiě)出表示這三個(gè)三角形相似的式子，并證明AB：OA=2

3

：3．
（3）在（1）中，若OA=8

2

，OC=8，OP=

2

CQ．以矩形OABC的兩邊OA、OC所在的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（3），若某拋物線頂點(diǎn)為P，點(diǎn)B在拋物線上．
①求此拋物線的解析式．
②過(guò)線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M（點(diǎn)M與點(diǎn)P、B不重合），作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)N，若記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，試求線段MN的長(zhǎng)L與m之間的函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)出該函數(shù)的示意圖，并指出m取何值時(shí)，L有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）要寫(xiě)成三個(gè)三角形相似的式子，需要先找出相等的對(duì)應(yīng)角，首先由BC∥OA，確定∠CBP=∠BPA＞∠QBP，那么三個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)角應(yīng)該是：∠QBP、∠QPO、∠ABP，顯然能得出∠QBP=∠ABP、∠OQP=∠BQP，那么過(guò)P作BQ的垂線，根據(jù)角平分線定理即可判斷出OQ、QB、BA三者之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）同（1），先根據(jù)圖示確定相似三角形的對(duì)應(yīng)角，然后根據(jù)三個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫(xiě)出三角形相似的式子；在△BQP、△BPA中，有公共邊BP，可確定兩者全等，那么BQ=AB，因此確定出∠CBQ的度數(shù)，即可確定AB、BC（OA）的比例關(guān)系，那么可以從△OQP、△CQB、△ABP這三個(gè)相似三角形入手．
（3）①首先結(jié)合（1）的解題過(guò)程，確定OP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式；
②首先利用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，然后根據(jù)直線BP、拋物線的解析式，用點(diǎn)M的橫坐標(biāo)表示出點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差即為L(zhǎng)的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答：解：（1）△OPQ和△ABP中，∵∠OPQ+∠APB=90°，且∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPQ=∠ABP；
△BPQ和△ABP中，∵BC∥OA，∴∠APB=∠CBP＞∠PBQ，
若兩個(gè)三角形相似，則：∠PBQ=∠ABP；
∴∠OPQ=∠ABP=∠PBQ
又∵∠O=∠A=∠QPB=90°，
∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ．
在△OPQ和△PBQ中，∠OQP=∠PQB，過(guò)P作PD⊥BQ于D，則 OQ=QD；
同理，可得：BD=AB，
∴BQ=QD+BD=OQ+AB．

（2）同（1）可確定∠QBP=∠ABP，由圖知：∠QPO=∠BPA
∴∠OQP=∠ABP=∠QBP，又∠BQP=∠QOP=∠BAP=90°
∴△OPQ∽△APB∽△QPB．
由（1）的結(jié)論知：∠OQP=∠QBC=∠QBP=∠ABP，且∠ABC=90°，
∴∠QBC=30°，則 BQ：CB=2：

3

=2

3

：3；
由△QPB∽△APB，且BP=BP，所以△QPB≌△APB，得：AB=BQ；
∴AB：BC=2

3

：3，即 AB：OA=2

3

：3．

（3）①由（1）的解答過(guò)程知：若△OPQ與△PAB和△QPB相似，則必須滿(mǎn)足的條件是∠QPB=90゜；
此時(shí)∠OQP=∠BQP、∠QBP=∠ABP，由（1）題圖可知：OP=AP=PD；
∴OP=AP=

1

2

OA=4

2

，即 P（4

2

，0）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-4

2

）²，代入點(diǎn)B（8

2

，8），得：
a（8

2

-4

2

）²=8，解得 a=

1

4

∴拋物線的解析式為：y=

1

4

（x-4

2

）²=

1

4

x²-2

2

x+8．
②設(shè)直線BP的解析式為：y=kx+b，代入B（8

2

，8）、P（4

2

，0），得：

8 2 k+b=8 4 2 k+b=0

，解得

k= 2 b=-8

∴直線BP：y=

2

x-8．
已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則 M（m，

2

m-8）、N（m，

1

4

m²-2

2

m+8），則有：
MN的長(zhǎng)：L=

2

m-8-（

1

4

m²-2

2

m+8）=-

1

4

m²+3

2

m-16（4

2

＜m＜8

2

）（如右圖）
配方，得：L=-

1

4

（m²-12

2

m+72）+²=-

1

4

（m-6

2

）²+2，
∴當(dāng)m取6

2

時(shí)，L有最大值，且最大值為 2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形以及二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，題目的難度逐題遞進(jìn)，前面的題目為后面的解答過(guò)程提供了很好的鋪墊，這樣也降低了解題的難度．在解題時(shí)，一定要注意合理利用圖形的輔助作用．另外，在求函數(shù)解析式和畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)，要注意自變量的取值范圍．