Question

如果有理數(shù)a，b滿足|ab-2|+（1-b）²=0，試求

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2007)(b+2007)

的值．

Answer 1

分析：由絕對值和完全平方式的結果為非負數(shù)，且兩非負數(shù)之和為0可得絕對值和完全平方式同時為0，可得ab=2且b=1，把b=1代入ab=2可求出a的值為2，把求出的a與b代入所求的式子中，利用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

把所求式子的各項拆項后，去括號合并即可求出值．

解答：解：∵|ab-2|≥0，（1-b）²≥0，且|ab-2|+（1-b）²=0，
∴ab-2=0，且1-b=0，解得ab=2，且b=1，
把b=1代入ab=2中，解得a=2，
則

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2007)(b+2007)

=

1

2

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

2009×2008

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2008

-

1

2009

）
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2008

-

1

2009

=1-

1

2009

=

2008

2009

．

點評：此題考查了有理數(shù)的混合運算，要求學生掌握兩非負數(shù)之和為0時，兩非負數(shù)必須同時為0，本題若直接按照運算順序解題，運算量非常大，需利用計算技巧簡化運算，根據(jù)所求式子各項的特點，利用拆項法進行化簡，使拆開的一部分分數(shù)互相抵消，達到簡化運算的目的．熟練運用

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

是解本題的關鍵．