Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點C的坐標；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，

∴ ，

解得： ，

∴y= x2﹣ x+3；

∴點C的坐標為：（0，3）

（2）

解：假設(shè)存在，分兩種情況：

①當(dāng)△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°，

如圖1，過點B作BM⊥x軸于點M，設(shè)D為y軸上的點，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A點坐標為（3，0），

∴D點的坐標為：（0，3），

∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+3，

∴y= x2﹣ x+3=﹣x+3，

∴x2﹣3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3，y=0（不合題意舍去），

∴P點坐標為（0，3），

∴點P、C、D重合，

②當(dāng)△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，

如圖2，過點B作BF⊥y軸于點F，

由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，

∴DF=4，

∴D點坐標為：（0，5），B點坐標為：（4，1），

∴直線BD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+5，

∴y= x2﹣ x+3=﹣x+5，

∴x2﹣3x﹣4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4（舍），

∴y=6，

∴P點坐標為（﹣1，6），

∴點P的坐標為：（﹣1，6），（0，3）；

（3）

解：如圖3：作EM⊥AO于M，

∵直線AC的解析式為：y=﹣x+3，

∴tan∠OAC=1，

∴∠OAC=45°，

∴∠OAC=∠OAF=45°，

∴AC⊥AF，

∵S△FEO= OE×OF，

OE最小時S△FEO最小，

∵OE⊥AC時OE最小，

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直線CA上，

∴E點坐標為（x，﹣x+3），

∴x=﹣x+3，

解得：x= ，

∴E點坐標為（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）從當(dāng)△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°與當(dāng)△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；（3）根據(jù)當(dāng)OE∥AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．