Question

已知：直線分別與x軸、y軸交于點A、點B，點P（a，b）在直線AB上，點P關于y軸的對稱點P′在反比例函數圖象上．
（1）當a=1時，求反比例函數的解析式；
（2）設直線AB與線段P′O的交點為C．當P′C=2CO時，求b的值；
（3）過點A作AD∥y軸交反比例函數圖象于點D，若AD=，求△P′DO的面積．

Answer 1

解：（1）如圖1，∵點P在直線AB上，a=1時，b=×1+2=，
∴P（1，），
∴P′（-1，），代入得，
∴，

（2）如圖1，連接PP′，
∵點P和點P'關于y軸對稱
∴PP′∥x軸
∴△PP'C∽△AOC，
∴PP′：OA=P′C：CO，
∵P′C=2CO，
∴PP′=2OA
∵與x軸交于點A、與y軸交于點B，
∴A（-4，0），B（0，2）可得OA=4，
∴PP'=8，P和P’關于Y軸對稱，
∴a=4，
∴b=×4+2=4；

（3）如圖2，當點P在第一象限時：
∵點P和點P'關于y軸對稱且P（a，b），
∴P'（-a，b），
∵AD∥y，
∴D（-4，），
∵點P'、點D在上，
∴-4×=-a×b，
∴a=2，
∴b=×2+2=3，
∵D（-4，），P'（-2，3）
∴，
如圖3，當點P在第二象限時：D（-4，-），
∴-4×（-）=-a×b，
∴a=-2，
∴b=×（-2）+2=1，
∵D（-4，-），P'（2，1），
故直線DP′的解析式為；y=x+，
則OE=，
S_△P′OD=S_△P′EO+S_△DEO=××2+××4=．
綜上：S_△P′OD=或．
分析：（1）根據點P在直線AB上，a=1時，得出b的值，即可得出P點坐標，進而得出P′坐標，求出反比例函數解析式即可；
（2）連接PP′，證出△PP'C∽△OCA，利用P′C=2CO，得出PP′=2OA，進而求出A，B兩點坐標得出a，b的值即可；
（3）分別根據當點P在第一象限時，以及當點P在第二象限時，求出D，P′坐標，求出△P′DO的面積即可．
點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及三角形面積求法等知識，根據數形結合，分類討論得出P點位置是解題關鍵．