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        1. 【題目】在平面直角坐標系中,點B、A分別在x軸和y軸上,連接AB,已知∠ABO=60°,BC平分∠ABO交y軸于點C,且BC=8.

          (1)求點A的坐標;
          (2)點P從點B出發(fā),沿射線BC方向以每秒2個長度單位的速度運動,過點P作PQ⊥y軸于Q,設點P的運動時間為t秒,試用t表示線段CQ的長;
          (3)點D是點B關于y軸的對稱點,在(2)的條件下,連接OP、DQ、CD,當 時,求t的值.

          【答案】
          (1)

          解:∵∠ABO=60°,BC是角平分線,

          ∴∠ABC=∠CBO=30°,

          在直角△BOC中,OC=BCsin∠CBO= BC=4,即C的坐標是(0,4).

          又∵直角△ABO中,∠BAO=90°﹣∠ABO=90°﹣60°=30°,

          ∴∠BAO=∠ABC=30°,

          ∴AC=BC=8,

          ∴OA=8+4=12,

          ∴A的坐標是(0,12)


          (2)

          解:當0≤t≤4時,如圖1,P在BC上,BP=2t,則PC=8﹣2t,

          在直角△PCQ中,∠CPQ=∠CBO=30°,

          則CQ= PC= (8﹣2t)=4﹣t;

          當t>4時,P在BC的延長線上,如圖2.

          BP=2t,則CP=2t﹣8,

          在直角△PCQ中,∠CPQ=30°,CQ= PC= (2t﹣8)=4﹣4


          (3)

          解:在直角△BOC中,OB=BCcos∠CBO=8× =4 ,則B的坐標是(﹣4 ,0),則D的坐標是(4 ,0).

          當0≤t≤4時,如圖1,P在線段BC上,作PF⊥OB于點F.則PF= BP=t,則SBOP= ×4 t=2 t,

          CQ=4﹣t,則SDCQ= (4﹣t)×4 =﹣2 t+8

          時,2 t= (﹣2 t+8 ),解得:t= ;

          當t>4時P在BC的延長線上,如圖2.作PF⊥OB于點F.則PF= BP=t,則SBOP= ×4 t=2 t,

          CQ=4﹣t,則SDCQ= (t﹣4)×4 =2 t﹣8 ,

          時,2 t= (2 t﹣8 ),解得:t=9.

          總之,t= 或9.


          【解析】(1)首先在直角△BOC中,利用三角函數(shù)求得OC的長,然后證明BC=AC,則求得OA的長,得到A的坐標;(2)分成P在線段BC上和在BC的延長線上兩種情況進行討論,利用三角函數(shù)求解;(3)同(2)分成兩種情況討論,根據(jù)三角形面積公式利用t表示出△BPO和△DCQ的面積,然后解方程即可求解.
          【考點精析】掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的根本,需要知道銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

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