Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.

（1）求的長.

（2）當(dāng)時(shí)，求t的值

（3）試探究：t為何值時(shí)，為等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1)10；(2)；（3）t=、t=或t=.

【解析】

（1）作梯形的兩條高，根據(jù)直角三角形性質(zhì)與矩形性質(zhì)進(jìn)一步求解即可；

（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)一步求解即可；

（3）因?yàn)槿�邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以考慮三種情況，結(jié)合路程=速度×?xí)r間求得其中有關(guān)的邊，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的方法進(jìn)一步求解即可.

（1）

如圖①，過A、D分別作AK⊥BC于K，作DH⊥BC于H，則四邊形ADHK為矩形，

∴KH=AD=3，AK=DH，

在Rt△ABK中，

∴AK=ABsin45°==4，

又∵，

∴∠BAK=45°，

∴BK=AK=4，

∴DH=AK=4，

在Rt△CDH中，由勾股定理可得：

HC=，

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；

（2）

如圖②，過D作DG∥AB交BC于G點(diǎn)，則四邊形ADGB為平行四邊形，

∴BG=AD=3，

∴GC=BCBC=103=7，

由題意得，當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，CN=t，CM=102t，

∵AB∥DG，MN∥AB，

∴DG∥MN，

∴∠NMC=∠DGC，

又∵∠C=∠C，

∴△MNC~△GDC，

∴,

∴，

解得t=；

（3）第一種情況：當(dāng)NC=MC時(shí)，如圖③，

此時(shí)t=102t，

∴t=；

第二種情況：當(dāng)MN=NC時(shí)，如圖④，作NE⊥MC于E，DH⊥BC于H，

∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°，

∴△NEC~△DHC，

∴，

即：，

解得：t=；

第三種情況：當(dāng)MN=MC時(shí)，如圖⑤，作DH⊥BC于H ，MF⊥CN于F，則FC=，

∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，

∴△MFC~△DHC，

∴，

即：，

解得：t=；

綜上所述，當(dāng)t=、t=或t=時(shí)，△MNC為等腰三角形.