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        1. 【題目】定義:如圖1,點M、N把線段AB分割成AM、MNBN,若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點M、N是線段AB的勾股點.

          (1)已知點M、N是線段AB的勾股點,若AM=1,MN=2,求BN的長;

          (2)如圖2,點P(a,b)是反比例函數(shù)y=(x0)上的動點,直線y=﹣x+2與坐標軸分別交于A、B兩點,過點P分別向x、y軸作垂線,垂足為C、D,且交線段ABE、F.證明:E、F是線段AB的勾股點;

          (3)如圖3,已知一次函數(shù)y=﹣x+3與坐標軸交于A、B兩點,與二次函數(shù)y=x2﹣4x+m交于C、D兩點,若C、D是線段AB的勾股點,求m的值.

          【答案】(1);(2)見解析;(3).

          【解析】

          (1)根據(jù)勾股點的定理,即可求出BN的長度;

          (2)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征結合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,找出點A、B、E、F的坐標,利用兩點間的距離公式可求出BF、EF、AE的長度,由BF2+AE2=EF2即可證出E、F是線段AB的勾股點;

          (3)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點A、B的坐標,將一次函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式中利用解一元二次方程可得出點C、D的橫坐標,進而可得出AC、CD、BD的長度,結合C、D是線段AB的勾股點,即可得出關于m的一元二次方程,解之經檢驗后即可得出結論.

          解:(1)∵點M、N是線段AB的勾股點,

          BN==BN==,

          BN的長為

          (2)∵點P(a,b)是反比例函數(shù)y=(x0)上的動點,

          b=

          ∵直線y=﹣x+2與坐標軸分別交于A、B兩點,

          ∴點B的坐標為(0,2),點A的坐標為(2,0);

          x=a時,y=﹣x+2=2﹣a,

          ∴點E的坐標為(a,2﹣a);

          y=時,有﹣x+2=

          解得:x=2﹣,

          ∴點F的坐標為(2﹣).

          BF==(2﹣),EF==|2﹣a﹣|,AE==(2﹣a).

          BF2+AE2=16+2a2﹣8a+=EF2

          ∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個直角三角形,

          E、F是線段AB的勾股點.

          (3)∵一次函數(shù)y=﹣x+3與坐標軸交于A、B兩點,

          ∴點A的坐標為(0,3),點B的坐標為(3,0).

          y=﹣x+3代入y=x2﹣4x+m中,整理得:x2﹣3x+m﹣3=0,

          解得:xC=,xD=

          AC=(xC﹣0)=,CD=(xD﹣xC)=,BD=(2﹣xD)=

          C、D是線段AB的勾股點,

          AC2=CD2+BD2CD2=AC2+BD2,即15﹣2m﹣3=42﹣8m+11﹣2m﹣42﹣8m=11﹣2m﹣+15﹣2m﹣3

          整理得:4m2﹣37m+85=0m2﹣4m﹣5=0,

          解得:m1=,m2=5,m3=﹣1(不合題意,舍去).

          m=5時,BD==0,

          m=5不合題意,舍去,

          m的值為

          練習冊系列答案
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          他的做法是:

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          當三角形中有一個角是最小角的2倍時,則此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形.

          請你參考小明的做法繼續(xù)探究:當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數(shù)量關系時,此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形.請直接寫出你所探究出的另外兩條結論(不必寫出探究過程或理由).

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