Question

附加題．觀察計(jì)算
當(dāng)a=5，b=3時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

＞

．
當(dāng)a=4，b=4時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

=

．
●探究證明
如圖所示，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過(guò)C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=a，BD=b．
（1）分別用a，b表示線段OC，CD；
（2）探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系（用含a，b的式子表示）．
●歸納結(jié)論
根據(jù)上面的觀察計(jì)算、探究證明，你能得出

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是：

a+b

2

≥

ab

（當(dāng)a=b時(shí)，取“=”）

．

Answer 1

分析：觀察計(jì)算：將a、b的值分別代入已知代數(shù)式并求值，然后比較

a+b

2

與

ab

的大小；
探究證明：（1）求出∠ADC=∠BDC=90°，∠CAB=∠BCD，證△ADC∽△CDB，得出

CD

DB

=

AD

CD

，代入即可求出CD，求出AB，即可求出OC；
（2）分為兩種情況：當(dāng)O和D不重合時(shí)得出

a+b

2

＞

ab

，當(dāng)O和D重合時(shí)得出

a+b

2

=

ab

，即可得出答案

a+b

2

≥

ab

．

解答：解：觀察計(jì)算：
當(dāng)a=5，b=3時(shí)，

a+b

2

=

5+3

2

=4，

ab

=

3×5

=

15

．
∵4＞

15

，
∴

a+b

2

＞

ab

；
當(dāng)a=4，b=4時(shí)，

a+b

2

=

4+4

2

=4，

ab

=

4×4

=4，
∵4=4，
∴

a+b

2

=

ab

；
故答案是：＞，=；

●探究證明：（1）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠CBA+∠BCD=90°，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

CD

DB

=

AD

CD

，即

CD

b

=

a

CD

，CD=

ab

，
∵AB=AD+BD=a+b，
AB是⊙O直徑，
∴半徑OC=

1

2

AB=

a+b

2

；
即OC=

a+b

2

，CD=

ab

；

（2）∵當(dāng)D和O不重合時(shí)，如圖，在Rt△OCD中，OC＞CD，即

a+b

2

＞

ab

；
當(dāng)D和O重合時(shí)，OC=CD，即

a+b

2

=

ab

；
∴OC與CD表達(dá)式之間存在的數(shù)量關(guān)系是：

a+b

2

≥

ab

．

●歸納結(jié)論
根據(jù)上面的觀察計(jì)算、探究證明，你能得出：

a+b

2

≥

ab

（當(dāng)a=b時(shí)，取“=”）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理和相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．