Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，點M，點N同時從點A出發(fā)，點M沿邊AB以4cm/s的速度向點B運動，點N從點A出發(fā)，沿邊AC以3cm/s的速度向點C運動，（點M不與A，B重合，點N不與A，C重合），設(shè)運動時間為xs．
（1）求證：△AMN∽△ABC；
（2）當x為何值時，以MN為直徑的⊙O與直線BC相切？
（3）把△AMN沿直線MN折疊得到△MNP，若△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）欲證△AMN∽△ABC，可以通過應(yīng)用兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似，（AM：AN=AB：AC=4：3，∠A=∠A）得出；
（2）MN為直徑的⊙O與直線BC相切，則圓心O到直線BC的距離等于半徑，列出函數(shù)關(guān)系式，求出x的值；
（3）因為∠A=90°，△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積分為兩種情況：等于S_△PMN，或等于S_△MNP-S_△PEF，列出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，求出當x=

4

3

時，y值最大，最大值是8．

解答：（1）證明：∵

AM

AB

=

AN

AC

，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC．（4分）

（2）解：在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=10．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴

MN

BC

=

AM

AB

=

4x

8

∴MN=5x，
∴⊙O的半徑r=

5

2

x
可求得圓心O到直線BC的距離d=

48

10

-

12x

5

∵⊙O與直線BC相切
∴

48

10

-

12x

5

=

5

2

x．解得x=

48

49

當x=

48

49

時，⊙O與直線BC相切．（8分）

（3）解：當P點落在直線BC上時，則點M為AB的中點．（9分）
故以下分兩種情況討論：
①當0＜x≤1時，y=S_△PMN=6x²，
∴當x=1時，y_最大=6×1²=6．（11分）
②當1＜x＜2時，設(shè)MP交BC于E，NP交BC于F
MB=8-4x，MP=MA=4x
∴PE=4x-（8-4x）=8x-8
y=S_△MNP-S_△PEF=6x2-6x2(

8x-8

4x

)2=-18(x-

4

3

)2+8（13分）
∴當x=

4

3

時，y_最大=8．
綜上所述，當x=

4

3

時，y值最大，最大值是8．（14分）

點評：考查了相似三角形的判斷，結(jié)合切線的性質(zhì)，及三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．