Question

如圖1，拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（3，-2）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)D，與軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線（）將四邊形ABCD面積二等分，求的值；
（3）如圖2，過點(diǎn)E（1，1）作EF⊥軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得△MNQ（點(diǎn)M、N、Q分別與點(diǎn)A、E、F對應(yīng)），使點(diǎn)M、N在拋物線上，求點(diǎn)N和點(diǎn)P的坐標(biāo)？

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) （1，－3），（1，－1）．

試題分析：把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a、b的值，從而確定拋物線的解析式.
（1）∵拋物線經(jīng)過A（-1，0），C（3，-2），
∴，解之得：，
∴所求拋物線的解析式為：；
（2）令，解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
令x=0，可得：y=-2，
∴D（0，-2），
∵C（3，-2），
∴DC∥AB，
由勾股定理得：AD=BC=，
∴四邊形ADCB是等腰梯形，
∵D（0，-2），C（3，-2），∴取DC中點(diǎn)E，則E的坐標(biāo)是（，-2），
過E作EF⊥AB于F，取EF的中點(diǎn)G，則G的坐標(biāo)是（，-1），
則過G的直線（直線與AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面積二等份，
把G的坐標(biāo)代入y=kx+1，得：，
∴； 

（3）設(shè)Q（m，n），則M（m＋2，n），N（m，n－1），
代入，得：，解之，得：，
∴Q（1，-2），M（3，－2），N（1，－3），
又Q的對應(yīng)點(diǎn)為F（1，0），
∴QF的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心P，且P（1，－1），
∴點(diǎn)N、P的坐標(biāo)分別為：（1，－3），（1，－1）．