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        1. (2009•哈爾濱)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形ABCO是菱形,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)C在x軸的正半軸上,直線AC交y軸于點(diǎn)M,AB邊交y軸于點(diǎn)H.
          (1)求直線AC的解析式;
          (2)連接BM,如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)△PMB的面積為S(S≠0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式(要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍);
          (3)在(2)的條件下,當(dāng)t為何值時(shí),∠MPB與∠BCO互為余角,并求此時(shí)直線OP與直線AC所夾銳角的正切值.

          【答案】分析:(1)已知A點(diǎn)的坐標(biāo),就可以求出OA的長(zhǎng),根據(jù)OA=OC,就可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出函數(shù)解析式.
          (2)點(diǎn)P的位置應(yīng)分P在AB和BC上,兩種情況進(jìn)行討論.當(dāng)P在AB上時(shí),△PMB的底邊PB可以用時(shí)間t表示出來(lái),高是MH的長(zhǎng),因而面積就可以表示出來(lái).
          (3)本題可以分兩種情況進(jìn)行討論,當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí):設(shè)OP與AC相交于點(diǎn)Q連接OB交AC于點(diǎn)K,證明△AQP∽△CQO,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,以及勾股定理可以求出AQ,QC的長(zhǎng),在直角△OHB中,根據(jù)勾股定理,可以得到tan∠OQC.
          當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),可證△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,就可以求出OK,KQ就可以求出.
          解答:解:(1)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸垂足為E,如圖(1)
          ∵A(-3,4),
          ∴AE=4 OE=3,
          ∴OA==5,
          ∵四邊形ABCO為菱形,
          ∴OC=CB=BA=0A=5,
          ∴C(5,0)(1分)
          設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,
          ,
          ,
          ∴直線AC的解析式為y=-x+.(1分)

          (2)由(1)得M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),
          ∴OM=
          如圖(1),當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)
          由題意得OH=4,
          ∴HM=OH-OM=4-=,
          ∴s=BP•MH=(5-2t)•
          ∴s=-t+(0≤t<),2分
          當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),記為P1,
          ∵∠OCM=∠BCM,CO=CB,CM=CM,
          ∴△OMC≌△BMC,
          ∴OM=BM=,∠MOC=∠MBC=90°,
          ∴S=P1B•BM=(2t-5),
          ∴S=t-<t≤5),2分

          (3)設(shè)OP與AC相交于點(diǎn)Q連接OB交AC于點(diǎn)K,
          ∵∠AOC=∠ABC,
          ∴∠AOM=∠ABM,
          ∵∠MPB+∠BCO=90°,∠BAO=∠BCO,∠BAO+∠AOH=90°,
          ∴∠MPB=∠AOH,
          ∴∠MPB=∠MBH.
          當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖(2)
          ∵∠MPB=∠MBH,
          ∴PM=BM,
          ∵M(jìn)H⊥PB,
          ∴PH=HB=2,
          ∴PA=AH-PH=1,
          ∴t=,(1分)
          ∵AB∥OC,
          ∴∠PAQ=∠OCQ,
          ∵∠AQP=∠CQO,
          ∴△AQP∽△CQO,
          ==,
          在Rt△AEC中,AC===4
          ∴AQ=,QC=,
          在Rt△OHB中,OB===2,
          ∵AC⊥OB,OK=KB,AK=CK,
          ∴OK=,AK=KC=2
          ∴QK=AK-AQ=,
          ∴tan∠OQC==,(1分)
          當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖(3),
          ∵∠BHM=∠PBM=90°,∠MPB=∠MBH,
          ∴tan∠MPB=tan∠MBH,
          =,即=
          ∴BP=,
          ∴t=,(1分)
          ∴PC=BC-BP=5-
          由PC∥OA,同理可證△PQC∽△OQA,
          =,
          =
          CQ=AC=,
          ∴QK=KC-CQ=
          ∵OK=,
          ∴tan∠OQK=.(1分)
          綜上所述,當(dāng)t=時(shí),∠MPB與∠BCO互為余角,直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為
          當(dāng)t=時(shí),∠MPB與∠BCO互為余角,直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,求三角函數(shù)值的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求直角三角形的邊的比的問(wèn)題.
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          (2)連接BM,如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)△PMB的面積為S(S≠0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式(要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍);
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          D.-3

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