Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是位于x軸上方對稱軸上一點(diǎn)，F(xiàn)C∥x軸，與對稱軸右側(cè)的拋物線交于點(diǎn)C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x+2；（2）C（5，2）；（3）拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P（，﹣）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形；理由見解析

【解析】

試題分析：方法一：

（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；

（2）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸，再根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式計(jì)算求出縱坐標(biāo)，即可得解；

（3）設(shè)AC、EF的交點(diǎn)為D，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后分①點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)時(shí)，求出△OED和△PEO相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出PE，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；②點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，同理求出PF，再求出PE，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，利用勾股定理列式求出OC，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得PD=OC，再分點(diǎn)P在OC的上方與下方兩種情況寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

方法二：

（1）略．

（2）因?yàn)樗倪呅蜲ECF是平行四邊形，且FC∥x軸，列出F，C的參數(shù)坐標(biāo)，利用FC=OE，可求出C點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）列出點(diǎn)P的參數(shù)坐標(biāo)，分別列出O，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，由于△OCP是直角三角形，所以分別討論三種垂直的位置關(guān)系，利用斜率垂直公式，可求出三種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)．

方法一：

解：（1）把點(diǎn)A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，

，

解得，

所以，拋物線的解析式為y=x2﹣x+2；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=，

∵四邊形OECF是平行四邊形，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是×2=5，

∵點(diǎn)C在拋物線上，

∴y=×52﹣×5+2=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，2）；

（3）設(shè)OC與EF的交點(diǎn)為D，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，2），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1），

①點(diǎn)O是直角頂點(diǎn)時(shí)，易得△OED∽△PEO，

∴=，

即=，

解得PE=，

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）；

②點(diǎn)C是直角頂點(diǎn)時(shí)，同理求出PF=，

所以，PE=+2=，

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；

③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得，OC==，

∵PD是OC邊上的中線，

∴PD=OC=，

若點(diǎn)P在OC上方，則PE=PD+DE=+1，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

若點(diǎn)P在OC的下方，則PE=PD﹣DE=﹣1，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P（，﹣）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形．

方法二：

（1）略．

（2）∵FC∥x軸，∴當(dāng)FC=OE時(shí)，四邊形OECF是平行四邊形．

設(shè)C（t，），

∴F（，+2），

∴t﹣=，

∴t=5，C（5，2）．

（3）∵點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，設(shè)P（，t），O（0，0），C（5，2），

∵△OCP是直角三角形，∴OC⊥OP，OC⊥PC，OP⊥PC，

①OC⊥OP，∴KOC×KOP=﹣1，∴，

∴t=﹣，∴P（，﹣），

②OC⊥PC，∴KOC×KPC=﹣1，∴=﹣1，

∴t=，P（，），

③OP⊥PC，∴KOP×KPC=﹣1，∴，

∴4t2﹣8t﹣25=0，∴t=或，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，），

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P（，﹣）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形．