Question

實(shí)驗(yàn)與探究：
（1）在圖1，2，3中，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（如圖所示），求出圖1，2，3中的第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，已求出圖1中頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，2），圖2，3中頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是

 

，

 

；

（2）在圖4中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（如圖所示），求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（C點(diǎn)坐標(biāo)用含a，b，c，d，e，f的代數(shù)式表示）；

歸納與發(fā)現(xiàn)：
（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如圖4）時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，c，m，e之間的等量關(guān)系為

 

；縱坐標(biāo)b，d，n，f之間的等量關(guān)系為

 

（不必證明）；運(yùn)用與推廣：
（4）在同一直角坐標(biāo)系中有拋物線y=x²-（5c-3）x-c和三個(gè)點(diǎn)G(-

1

2

c，

5

2

c)，S(

1

2

c，

9

2

c)，H（2c，0）（其中c＞0）．問當(dāng)c為何值時(shí)，該拋物線上存在點(diǎn)P，使得以G，S，H，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，得出圖2，3中頂點(diǎn)C的坐標(biāo)分別是（e+c，d），（c+e-a，d）；
（2）分別過點(diǎn)A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點(diǎn)F．
在平行四邊形ABCD中，CD=BA，根據(jù)內(nèi)角和定理，又∵BB₁∥CC₁，可推出∠EBA=∠FCD，△BEA≌△CFD．
依題意得出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．設(shè)C（x，y）．由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．繼而推出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）在平行四邊形ABCD中，CD=BA，同理證明△BEA≌△CFD（同（2）證明）．然后推出AF=DF=a-c，BE=CF=d-b．又已知C點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），e-m=a-c，故m=e+c-a．由n-f=d-b，得出n=f+d-b．
（4）若GS為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₁（-2c，7c）．要使P₁在拋物線上，
則有7c=4c²-（5c-3）×（-2c）-c，求出c的實(shí)際取值以及P₁的坐標(biāo)，
若SH為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₂（3c，2c），
同理可得c=1，此時(shí)P₂（3，2）；
若GH為平行四邊形的對角線，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此時(shí)P₃（1，-2）；故綜上所述可得解．

解答：解：（1）（e+c，d），（c+e-a，d）．（2分）

（2）分別過點(diǎn)A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁，C₁，D₁，
分別過A，D作AE⊥BB₁于E，DF⊥CC₁于點(diǎn)F．
在平行四邊形ABCD中，CD=BA，
又∵BB₁∥CC₁，
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．
∴∠EBA=∠FCD．
又∵∠BEA=∠CFD=90°，
∴△BEA≌△CFD．（5分）
∴AE=DF=a-c，BE=CF=d-b．
設(shè)C（x，y）．
由e-x=a-c，得x=e+c-a．
由y-f=d-b，得y=f+d-b．
∴C（e+c-a，f+d-b）．（6分）
（此問解法多種，可參照評分）

（3）m=c+e-a，n=d+f-b．或m+a=c+e，n+b=d+f．（10分）

（4）若GS為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₁（-2c，7c）．
要使P₁在拋物線上，
則有7c=4c²-（5c-3）×（-2c）-c，
即c²-c=0．
∴c₁=0（舍去），c₂=1．此時(shí)P₁（-2，7）．（11分）
若SH為平行四邊形的對角線，由（3）可得P₂（3c，2c），
同理可得c=1，此時(shí)P₂（3，2）．（12分）
若GH為平行四邊形的對角線，由（3）可得（c，-2c），
同理可得c=1，此時(shí)P₃（1，-2）．（13分）
綜上所述，當(dāng)c=1時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)P，使得以G，S，H，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
符合條件的點(diǎn)有P₁（-2，7），P₂（3，2），P₃（1，-2）．（14分）

點(diǎn)評：考查平行四邊形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，平行線的性質(zhì)等知識．理解平行四邊形的特點(diǎn)結(jié)合平面直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵．