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        1. 【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A坐標(biāo)為(4,0).

          (1)求該拋物線的解析式;

          (2)拋物線的頂點(diǎn)為N,在x軸上找一點(diǎn)K,使CK+KN最小,并求出點(diǎn)K的坐標(biāo);

          (3)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

          (4)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣ x2+x+4;(2)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(,0);(3)當(dāng)m=1時(shí),S△CQE有最大值3,此時(shí)Q(1,0);(4)存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).

          【解析】試題分析:(1)把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、c的值,可求得拋物線解析;

          (2)可求得點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo),連接C′N交x軸于點(diǎn)K,再求得直線C′K的解析式,可求得K點(diǎn)坐標(biāo);

          (3)過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G,設(shè)Q(m,0),可表示出AB、BQ,再證明△BQE≌△BAC,可表示出EG,可得出△CQE關(guān)于m的解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo);

          (4)分DO=DF、FO=FD和OD=OF三種情況,分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得F點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)一步求得P點(diǎn)坐標(biāo)即可.

          試題解析:(1)∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,4),A(4,0),

          ,解得 ,

          ∴拋物線解析式為y=﹣ x2+x+4;

          (2)由(1)可求得拋物線頂點(diǎn)為N(1, ),

          如圖1,作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′(0,﹣4),連接C′N交x軸于點(diǎn)K,則K點(diǎn)即為所求,

          設(shè)直線C′N的解析式為y=kx+b,把C′、N點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 ,解得 ,

          ∴直線C′N的解析式為y=x-4 ,

          令y=0,解得x=

          ∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為(,0);

          (3)設(shè)點(diǎn)Q(m,0),過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G,如圖2,

          由﹣ x2+x+4=0,得x1=﹣2,x2=4,

          ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,0),AB=6,BQ=m+2,

          又∵QE∥AC,∴△BQE≌△BAC,

          ,即 ,解得EG=

          ∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=(CO-EG)·BQ=(m+2)(4-

          = =-(m-1)2+3 .

          又∵﹣2≤m≤4,

          ∴當(dāng)m=1時(shí),S△CQE有最大值3,此時(shí)Q(1,0);

          (4)存在.在△ODF中,

          (。┤鬌O=DF,∵A(4,0),D(2,0),

          ∴AD=OD=DF=2.

          又在Rt△AOC中,OA=OC=4,

          ∴∠OAC=45°.

          ∴∠DFA=∠OAC=45°.

          ∴∠ADF=90°.

          此時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,2).

          由﹣ x2+x+4=2,得x1=1+ ,x2=1﹣

          此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1(1+,2)或P2(1﹣,2);

          (ⅱ)若FO=FD,過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M.

          由等腰三角形的性質(zhì)得:OM=OD=1,

          ∴AM=3.

          ∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3.

          ∴F(1,3).

          由﹣ x2+x+4=3,得x1=1+,x2=1﹣

          此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P3(1+,3)或P4(1﹣,3);

          (ⅲ)若OD=OF,

          ∵OA=OC=4,且∠AOC=90°.

          ∴AC=4

          ∴點(diǎn)O到AC的距離為2

          而OF=OD=2<2,與OF≥2矛盾.

          ∴在AC上不存在點(diǎn)使得OF=OD=2.

          此時(shí),不存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.

          綜上所述,存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).

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          型號(hào)

          身高x/cm

          人數(shù)

          頻率

          小號(hào)

          145≤x155

          20

          0.2

          中號(hào)

          155≤x165

          a

          0.45

          大號(hào)

          165≤x175

          30

          b

          特大號(hào)

          175≤x185

          5

          0.05

          (1)這次共抽取__名學(xué)生;

          2a=__b=__

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