Question

已知：如圖，直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，OA=OB=1，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)，以P為頂點(diǎn)作∠OPQ=45°，射線PQ交x軸于點(diǎn)Q．
（1）求直線AB的解析式．
（2）△OPQ能否是等腰三角形？如果能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）無(wú)論m為何值，（2）中求出的P點(diǎn)是否始終在直線y=mx+

1-m

2

（m≠0）上？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法解方程組，求出函數(shù)的解析式；
（2）假設(shè)存在等腰三角形，分三種情況討論：（ⅰ）QP=QO；（ⅱ）QP=QO；（ⅲ） 若PO=PQ．能求出P點(diǎn)坐標(biāo)，則存在點(diǎn)P，否則，不存在．
（3）將（2）中的點(diǎn)代入y=mx+

1-m

2

（m≠0），等式成立的點(diǎn)即在直線上．

解答：解：（1）由OA=OB=1可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)是A（0，1），B（1，0），
把A（0，1），B（1，0）代入y=kx+b得：

b=1 k+b=0

，
解得：k=-1，b=1，
則y=-x+1；

（2）△OPQ可以是等腰三角形．
過(guò)P點(diǎn)PE⊥OA交OA于點(diǎn)E，
（ⅰ）若OP=OQ，
則∠OPQ=∠OQP=∠OPQ，
∴∠POQ=90°，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，1），
（ⅱ）若QP=QO，
則∠OPQ=∠QOP=45°，
所以PQ⊥QO，
可設(shè)P（x，x）代入y=-x+1得x=

1

2

，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

），
（ⅲ） 若PO=PQ，
∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3，
而∠OPQ=∠3=45°，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB=OA=1，
∴AP=

2

-1
由勾股定理求得PE=AE=1-

2

2

，
∴EO=

2

2

，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1-

2

2

，

2

2

），
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，1）或（

1

2

，

1

2

）或（1-

2

2

，

2

2

）時(shí)，△OPQ是等腰三角形．

（3）把x=0代入y=mx+

1-m

2

≠1；
把x=

1

2

代入y=mx+

1-m

2

=

1

2

；
把x=1-

2

2

代入y=mx+

1-m

2

≠

2

2

，
所以，（2）中求得的點(diǎn)P，只有當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）時(shí)，P點(diǎn)始終在直線y=mx+

1-m

2

（m≠0）上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，屬于存在性問(wèn)題，要分類討論，同時(shí)假設(shè)存在，能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則存在，否則，不存在．