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        1. 【題目】我們知道平行四邊形有很多性質(zhì).

          現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折,會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.

          (發(fā)現(xiàn)與證明)ABCD中,AB≠BC,將△ABC沿AC翻折至△AB′C,連結(jié)B′D.

          結(jié)論1B′D∥AC;

          結(jié)論2△AB′CABCD重疊部分的圖形是等腰三角形.

          ……

          請利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2(只需證明一個結(jié)論).

          (應用與探究)在ABCD中,已知∠B=30°,將△ABC沿AC翻折至△AB′C,連結(jié)B′D.

          1)如圖1,若,則∠ACB= °,BC=

          2)如圖2,BC=1,AB′與邊CD相交于點E,求△AEC的面積;

          3)已知,當BC長為多少時,是△AB′D直角三角形?

          【答案】【發(fā)現(xiàn)與證明】證明見解析;【應用與探究】(1) 45,;(2;(36,2, 43.

          【解析】

          試題【發(fā)現(xiàn)與證明】根據(jù)翻折對稱的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得證.

          【應用與探究】(1)∵△ABC沿AC翻折至△AB′C∠B=30°,∴∠AB′C=∠B=30°.

          ∴∠CB′D=45°.

          由【發(fā)現(xiàn)與證明】的結(jié)論,B′D∥AC,

          ∴∠ACB=∠ACB′=∠C B′D=45°.

          如答圖7,A點作AP⊥BC于點P,

          ∵∠B=30°,,

          .

          ∵∠ACB=45°,∴.

          .

          (2)C點分別作CG⊥AB,CH⊥A B′,垂足分別為G、H,應用含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理AECH的長即可求出△AEC的面積.

          (3)∠B′AD="90°," ∠AB′D=90°∠ADB′=90°三種情況討論即可.

          試題解析:解:【發(fā)現(xiàn)與證明】證明:如答圖1,設ADB′C相交于點F,

          ∵△ABC沿AC翻折至△AB′C

          ∴△ABC≌△△AB′C,∠ACB=∠ACB′BC= B′C.

          四邊形ABCD是平行四邊形,

          ∴AD=BC,AD∥BC.

          ∴B′C=AD∠ACB=∠CAD.

          .∴AF=CF.

          ∴B′F=DF.

          .

          ∵∠AFC=∠B′FD,.∴B′D∥AC.

          【應用與探究】

          145,.

          2)如答圖2,過C點分別作CG⊥AB,CH⊥AB′,垂足分別為G、H.

          ∴CG=CH.

          Rt△BCG中,∠BGC=90°,BC=1,∠B=30°

          .

          ,∴.

          ∵△AGC≌△AHC,∴.

          AE=CE=x,

          由勾股定理得,,,解得.

          ∴△AEC的面積.

          3)按△AB′D中的直角分類:

          ∠B′AD=90°,如答圖3,

          ∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=6.

          如答圖4,

          ∵∠A B′D=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=2.

          ∠AB′D=90°,如答圖5,

          ∵∠B′AD=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=4.

          ∠ADB′=90°,如答圖6,

          ∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°,AB′=,∴BC=AD=3.

          綜上所述, BC長為6,2, 43時,是△AB′D直角三角形.

          練習冊系列答案
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          ②是否存在異于圖2的時刻,使得PCB’是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的t的值?若不存在,請說明理由

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