Question

【題目】如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x軸．它的頂點A的坐標(biāo)為（10，0），頂點B的坐標(biāo)為（5，5），點P從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當(dāng)點P到達點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒．

(1)求∠BAO的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）

(2)當(dāng)點P在AB上運動時，△OPQ的面積S與時間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②），求點P的運動速度．

(3)求題(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，及面積S取最大值時，點P的坐標(biāo)．

(4)如果點P，Q保持題(2)中的速度不變，當(dāng)t取何值時，PO=PQ，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)∠BAO=60°； (2)點P的運動速度為2個單位/秒；(3)P（，）；(4)t=時，PO=PQ．

【解析】

（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度數(shù)即可；
（2）利用圖②中的函數(shù)圖象，求得點P的運動時間與路程解決即可；
（3）利用特殊角的三角函數(shù)，三角形的面積以及配方法解決問題；
（4）分兩種情況進行列方程解決問題．

(1)如圖，

過點B作BE⊥OA于E，則OE=5，BE=5，OA=10，

∴AE=5，Rt△ABE中，tan∠BAO=，

∴∠BAO=60°；

(2)由圖形可知，當(dāng)點P運動了5秒時，它到達點B，此時AB=10，因此點P的運動速度為10÷5=2個單位/秒，

點P的運動速度為2個單位/秒；

(3)P（10﹣t， t）（0≤t≤5），

∵S=（2t+2）（10﹣t），

=﹣（t﹣）2+ ，

∴當(dāng)t=時，S有最大值為，

此時P();

(4)當(dāng)P在AB上時，根據(jù)P點縱坐標(biāo)得出：

，

解得：t= ，

當(dāng)P在BC上時， ，

此方程無解，故t不存在，

綜上所知當(dāng)t=時，PO=PQ．