Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點D，點O是AB上一點，⊙O過B、D兩點，且分別交AB、BC于點E、F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB（等角對等邊）；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ODB=∠DBC（等量代換），

∴OD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）；

又∵∠C=90°（已知），

∴∠ADO=90°（兩直線平行，同位角相等），

∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切線

（2）解：由（1）知，OD∥BC，

∴ = （平行線截線段成比例），

∴ = ，

解得r= ，即⊙O的半徑r為

【解析】（1）連接OD．欲證AC是⊙O的切線，只需證明AC⊥OD即可；（2）利用平行線截線段成比例推知 = ；然后將圖中線段間的和差關系代入該比例式，通過解方程即可求得r的值，即⊙O的半徑r的值．