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        1. 【題目】如圖,PB為O的切線,B為切點(diǎn),直線PO交于點(diǎn)E、F,過點(diǎn)B作PO的垂線BA,垂足為點(diǎn)D,交O于點(diǎn)A,延長AO與O交于點(diǎn)C,連接BC,AF.

          (1)求證:直線PA為O的切線;

          (2)試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;

          (3)若BC=6,tanF=,求cosACB的值和線段PE的長.

          【答案】(1)證明見解析(2)EF2=4ODOP,證明見解析(3),

          【解析】解:(1)連接OB,

          PB是O的切線,∴∠PBO=90°。

          OA=OB,BAPO于D,

          AD=BD,POA=POB。

          PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS)。

          ∴∠PAO=PBO=90°。直線PA為O的切線。

          (2)EF2=4ODOP。證明如下:

          ∵∠PAO=PDA=90°,∴∠OAD+AOD=90°,OPA+AOP=90°。

          ∴∠OAD=OPA。∴△OAD∽△OPA,,即OA2=ODOP。

          EF=2OA,EF2=4ODOP。

          (3)OA=OC,AD=BD,BC=6,OD=BC=3(三角形中位線定理)。

          設(shè)AD=x,

          tanF=,FD=2x,OA=OF=2x﹣3。

          在RtAOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,

          解得,x1=4,x2=0(不合題意,舍去)。AD=4,OA=2x﹣3=5。

          AC是O直徑,∴∠ABC=90°。

          AC=2OA=10,BC=6,cosACB=

          OA2=ODOP,3(PE+5)=25PE=。

          (1)連接OB,根據(jù)垂徑定理的知識,得出OA=OB,POA=POB,而證明PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論。

          (2)先證明OAD∽△OPA,相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系,然后將EF=2OA代入關(guān)系式即可。

          (3)根據(jù)題意可確定OD是ABC的中位線,設(shè)AD=x,然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA,在RtAOD中,勾股定理解出x的值,而能求出cosACB,再由(2)可得OA2=ODOP,代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長。 

          練習(xí)冊系列答案
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          求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元?

          若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤元,并讓顧客得到實(shí)惠,則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?

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          (1)此拋物線的解析式;

          (2)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo).

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          (1)求證:ADE∽△ABC;

          (2)若AD=3,AB=5,求的值.

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          (2)求∠AOD的度數(shù).

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          (1)用樹狀圖或列表法列舉點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo);

          (2)求點(diǎn)M(x,y)在反比例函數(shù)y=的圖象上的概率.

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          同步練習(xí)冊答案