Question

【題目】在中，，，于點(diǎn)．

（1）如圖所示，點(diǎn)，分別在線段，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)；

（2）如圖所示，點(diǎn)，分別在，上，且，求證：；

（3）如圖所示，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在上，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，三者的等量關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到AD＝BD＝DC＝，求出∠MBD＝30°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

（2）證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

（3）過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB的延長(zhǎng)線于E，證明△BME≌△AMN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AN，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論．

（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，

∵AB＝2，

∴BC=

∴AD＝BD＝DC=BC＝，

∵∠AMN＝30°，

∴∠BMD＝180°90°30°＝60°，

∴∠MBD＝30°，

∴BM＝2DM，

由勾股定理得，BM2DM2＝BD2，即（2DM）2DM2＝（）2，

解得，DM＝，

∴AM＝ADDM＝；

（2）證明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA）

∴BE＝AF；

（3），理由如下：

過(guò)點(diǎn)M作ME∥BC交AB的延長(zhǎng)線于E，

∴∠AME＝90°，∠E＝90°-∠BAM=45°，

∴AM=EM,

則AE＝=AM，

∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BME和△NMA中，

，

∴△BME≌△NMA（ASA），

∴BE＝AN，

∴AB＋AN＝AB＋BE＝AE＝AM．