Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACM的周長最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，理由詳見解析；（3）M（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，可得M點(diǎn)是對稱軸與BC的交點(diǎn)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

試題解析：(1)∵點(diǎn)A(1,0)在拋物線上，

∴

解得

∴拋物線的解析式為

∵

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(2)△ABC是直角三角形，理由如下：

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴C(0,2)，則OC=2.

當(dāng)y=0時(shí),

∴ 則B(4,0)，

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5.

∴

∴△ABC是直角三角形；

(3)由題意A.B兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，故直線BC與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M.

由B(4,0),C(0,2)

設(shè)直線BC:y=kx2

4k2=0，

所以直線

當(dāng)時(shí),

所以