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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形ACB=ADE=90°,F(xiàn)BE的中點,連結DF,CF.

          (1)如圖①,當點DABEAC,請直接寫出此時線段DF,CF的數量關系和位置關系.

          (2)如圖②,(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°,請你判斷此時(1)中的結論是否仍然成立,并證明你的判斷.

          (3)如圖③(1)的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°,AD=1,AC=,求此時線段CF的長(直接寫出結果).

          【答案】(1) DF=CF,DFCF;(2)(1)中的結論仍然成立證明見解析;(3)CF

          【解析】

          (1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知DF=CF,根據∠DFE=2DBF,CFE=2CBF,得到∠EFD+EFC=2ABC=90°,DFCF.
          (2)延長DFBC于點G,先證明DEF≌△GBF,得到DE=GB,DF=GF,根據AD=DE,AB=BC,得到DC=GC又因為∠ACB=90°,所以DF=CFDFCF.
          (3)延長DFBA于點H,先證明DEF≌△HBF,得到DE=BH,根據旋轉條件可以ADH為直角三角形,由ABCADE是等腰直角三角形,AC=2,可以求出AB的值,進而可以根據勾股定理可以求出DH,再求出DF,求出得CF的值.

          (1) DF=CF. DFCF.

          (2)(1)中的結論仍然成立.證明如下:

          如解圖①,延長DFBC于點G.

          ∵∠ADE=ACB=90°,DEBC,

          ∴∠DEF=GBF,EDF=BGF.

          FBE的中點,∴EF=BF,

          ∴△DEF≌△GBF(AAS),

          DE=GB,DF=GF.

          AD=DE,AD=GB.

          AC=BC,AC-AD=BC-GB,即DC=GC.

          ∵∠ACB=90°,∴△DCG是等腰直角三角形.

          DF=GF,DF=CF,DFCF.

          (3)CF

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