Question

【題目】如圖，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得AC，連接BC，作△ABC的外接圓⊙O，點(diǎn)P為劣弧 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，CP相交于點(diǎn)D．

（1）求∠APB的大小；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，PD⊥AB？并求此時(shí)CD：CP的值；
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，比較PC與AP+PB的大小關(guān)系，并對(duì)結(jié)論給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵∠APB+∠ACB=180°，

∴∠APB=120°

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到 的中點(diǎn)時(shí)，PD⊥AB，

如圖1，連接PC，OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則CP=2r，

又∵⊙O為等邊△ABC的外接圓，

∴∠OAB=30°，

在Rt△OAD中，

∵OD= OA= ，

∴CD= +r= ，

∴CD：CP= ：2r=3：4

（3）解：PC=AP+PB

證明：方法一：

如圖2，在AP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使PQ=PB，連接BQ，

∵∠APB=120°，

∴∠BPQ=60°，

∴△BPQ是等邊三角形，

∴PB=BQ，

∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，

∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP，

∴∠ABQ=∠CBP，

在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB，

∴△ABQ≌△CBP，

∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；

方法二：如圖3，B為圓心，BP為半徑畫(huà)圓交CP于點(diǎn)M，連接BM，

∵∠CPB=60°，

∴△PBM是等邊三角形，

∵∠CMB=120°，

∴∠CMB=∠APB，

∴△APB≌△CMB，

∴PC=AP+PB；

方法三：（略證）如圖4，以A為圓心，A為半徑畫(huà)圓交CP于N，連接AN，

先證△APN是等邊三角形，再證△ANC≌△APB，

從而PC=AP+PB．

【解析】（1）先根據(jù)題意判斷出△ABC是等邊三角形，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)可知∠APB+∠ACB=180°，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）連接PC，OA，OB，設(shè)⊙O的半徑為r，則CP=2r，根據(jù)⊙O為等邊△ABC的外接圓可求出∠OAB=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可用r表示出OD，CD的值，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）在AP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使PQ=PB，連接BQ，可判斷出△BPQ是等邊三角形，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．