Question

（本題滿分8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，C為BD弧的中點(diǎn)，AC、BD交于點(diǎn)E．
（1）求證：△CBE∽△CAB；
（2）若S_△CBE∶S_△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．

Answer 1

（1）證明：∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，∴∠DBC＝∠BAC，

在△CBE與△CAB中；
∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．         ……4分
（2）解：連接OC交BD于F點(diǎn)，則OC垂直平分BD
∵S_△CBE：S_△CAB＝1:4，△CBE∽△CAB
∴AC：BC＝BC：EC＝2:1，∴AC＝4EC
∴AE：EC＝3：1
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°
∴AD∥OC，則AD：FC＝AE：EC＝3:1
設(shè)FC＝a，則AD＝3a，   
∵F為BD的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，
∴OF是△ABD的中位線，則OF＝AD＝1.5a， 
∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，則AB＝2OC＝5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝   …………………………8分
（本題方法眾多，方法不唯一，請(qǐng)酌情給分）

解析